Rodrigo Ricardo

Matriz inversa: definición, propiedades y fórmula

Publicado el 1 noviembre, 2020

Matriz inversa explicada

Olivia es una de esas chicas que ama tanto los juegos de computadora que quiere diseñarlos cuando sea mayor. Ella acaba de aprender que los gráficos de los juegos a menudo hacen uso de una poderosa herramienta matemática llamada matrices para hacer que todas esas cosas interesantes aparezcan en su pantalla. Quiere aprender sobre estas herramientas para poder obtener una ventaja en su educación en diseño de juegos.

Las matrices, aunque engorrosas de usar a mano, son muy útiles cuando las emplean las computadoras y pueden resolver problemas difíciles muy rápidamente, como el aspecto que podría tener un monstruo digital complicado cuando corre rápidamente hacia usted. Olivia pronto aprende que hay formas de sumar, restar y multiplicar matrices, pero no existe una operación matricial equivalente a la división. Lo más cerca que podemos llegar a la división por una matriz es multiplicar por su inversa .

Olivia sabe por las operaciones con números enteros que dividir por un número te da la misma respuesta que multiplicar por su recíproco. 10/5 = 10 x (1/5) = 2. Lo mismo es cierto para las matrices inversas, siempre que esa matriz tenga una inversa. Veremos que no todas las matrices tienen inversa.

Definición y propiedades de la inversa de una matriz

Ajustemos nuestra definición flexible de las inversas de la matriz con algunas matemáticas:

Propiedades de la matriz inversa

‘¿Qué es una matriz de identidad ?’ Olivia se pregunta. Lee un poco más y descubre que la matriz de identidad tiene el mismo número de filas y columnas, tiene ‘1’ en cada punto de la diagonal desde la parte superior izquierda a la inferior derecha y tiene ‘0’ en todas partes. ¿Puedes ver el patrón en las matrices a continuación?


Matriz de identidad 2×2
Matriz identidad 2x2


Matriz de identidad 4×4
Identidad 4x4

Las matrices de identidad pueden ser de cualquier tamaño necesario: 3×3, 10×10, incluso 1000×1000. Los gráficos de computadora tridimensionales generalmente usan matrices de 3×3, pero aplíquelas a decenas de miles de puntos individuales que componen los monstruos, el paisaje y las armas con las que interactúa en la pantalla.

Hay un par de propiedades a tener en cuenta sobre la inversa de una matriz. Primero, si está multiplicando una matriz por su inverso, el orden no importa. Esto es muy inusual para las operaciones con matrices porque AB rara vez es igual a BA para la mayoría de las matrices. En segundo lugar, es posible que ni siquiera exista la inversa de una matriz. Cuando el determinante de una matriz es cero, ¡no se puede dividir por eso!

Cómo calcular la inversa de una matriz de 2×2

Para obtener la inversa de una matriz de 2×2, debe seguir varios pasos:

  1. Cambie los números en (fila 1, columna 1) y (fila 2, columna 2)
  2. Dé signos opuestos a los números en (fila 1, columna 2) y (fila 2, columna 1)
  3. Dividir por el determinante de la matriz original

Aquí es mejor una ayuda visual:


Cómo calcular la inversa de la matriz 2×2
2x2 inverso

También es posible obtener la inversa de matrices 3×3 y superiores, pero es más complicado y no se tratará aquí.

Ejemplo: cálculo de la inversa de una matriz de 2×2

Olivia decide hacer un problema de práctica para asegurarse de entender el concepto:

ejemplo de matriz inversa

Como todos los buenos estudiantes de matemáticas, Olivia sabe que puede verificar su respuesta. Si multiplica la matriz que obtuvo por la matriz original, ¿obtiene la matriz identidad?


Comprobando tu trabajo
Verificación de matriz

¡Ha obtenido la matriz de identidad, por lo que su matriz inversa es correcta!

Resumen de la lección

Las matrices son herramientas poderosas que utilizan las computadoras para resolver una amplia gama de problemas difíciles. Las operaciones matriciales permitidas incluyen sumas, restas y multiplicaciones, pero no hay división matricial. La multiplicación por el inverso de una matriz puede funcionar en algunas situaciones. Obtener el inverso de una matriz de 2×2 es un proceso de 3 pasos que implica mover números, cambiar de lugar y dividir por el determinante. Para verificar su trabajo, es una muy buena idea multiplicar su matriz inversa por la matriz original y ver si obtiene una matriz inversa; si no la obtiene, ¡sabe que cometió un error en alguna parte!

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