Modelado con funciones cuadráticas

Forma estándar de función cuadrática

Recuerde una función cuadrática en la forma estándar f (x) = ax 2 + bx + c , donde a es el coeficiente principal, b es el coeficiente del término medio y c es la constante (intersección con el eje y) de la función. Estos tres valores pueden decir mucho sobre el comportamiento de la función y el escenario de la vida real que modela. También puede recordar que una gráfica de una función cuadrática se llama parábola . Dato interesante: el término parábola proviene del griego, donde literalmente significa ‘colocar uno al lado del otro’, al igual que la forma de la parábola es simétrica con respecto a la línea en el medio, el eje de simetría .

Gráfico de una función en forma estándar

Comencemos con el coeficiente principal a que determina qué tan curva es la parábola. Si el valor a es positivo, la parábola se abre y la función tiene un mínimo . Del mismo modo, si a <0, la parábola se abre hacia abajo y la función tendrá un máximo . El valor mínimo o máximo de una función cuadrática también se llama vértice (h, k) , donde h es el valor x del vértice y k es el valor y del vértice.

Forma de vértice de función cuadrática

Curiosamente, podemos reescribir una función cuadrática usando el vértice y el coeficiente principal, y la forma del vértice resultante es f (x) = a (x – h) 2 + k . Preste atención a los signos en forma de vértice. Por ejemplo, si el vértice está en ( -3,2 ) y a = 1, la ecuación sería f (x) = (x + 3) 2 + 2. Sin embargo, si el vértice estuviera en ( 3, -2 ) , los signos en la ecuación cambiarían y resultarían en f (x) = (x – 3) 2 – 2.

Gráfico de una función en forma de vértice

Forma factorizada de función cuadrática

La última forma de una función cuadrática que se puede usar para modelar un escenario del mundo real es la forma factorizada f (x) = a (x – r 1 ) (x – r 2 ) , donde r 1 y r 2 son los ceros ( intersecciones x) de la función. Recuerde que los factores deben igualarse a cero y resolver para x para ‘ver’ la intersección con x real.

Por ejemplo, si f (x) = (x – 2) (x + 3), entonces x – 2 = 0 y x = 2. De manera similar, x + 3 = 0, entonces x = -3.

Gráfico de una función en forma factorizada

¡También puede graficar cualquiera de las formas en una calculadora gráfica y leer las características clave que no son visibles en la ecuación!

Ahora que hemos refrescado su memoria sobre las formas y elementos cuadráticos, ¡usémoslos!

Aplicación de la función cuadrática

Problema 1

Te acabas de comprar un balón de fútbol nuevo y quieres saber qué tan alto puedes patearlo. Sabes que pateaste la pelota desde el nivel del suelo, que es la intersección con el eje y y el primer cero al mismo tiempo ( 0,0 ). Estimó que la pelota golpeó el suelo aproximadamente a 60 pies de donde la pateó (esa será la segunda intersección con el eje x). Tu amigo estimó que cuando la pelota estaba a 5 pies de distancia de ti, estaba a unos 10 pies en el aire (punto adicional en el gráfico, ( 5,10 )).

Ahora averigüemos el dado: ceros: ( 0,0 ) y ( 0,60 ), y otro punto ( 5,10 ).

Forma a utilizar: forma factorizada y = a (x – r 1 ) (x – r 2 )

Sustituye los ceros por r 1 y r 2 y el otro punto por x e y.

Desconocido: el vértice y el un valor

Entonces vamos a tener que resolver para a para encontrar el vértice.

Como era de esperar, el coeficiente adelantado es negativo, la pelota llegará al máximo y golpeará el suelo (¡obviamente!) Siguiendo un camino de parábola que se abre hacia abajo.

Así que ahora podemos usar el de un valor y los ceros de reescribir la forma factorizada f (x) = -.036 (x – 0) (x – 60) de la trayectoria de la pelota le dio una patada. No vemos el vértice real en la forma factorizada, pero no temas, ¡tenemos tecnología para ayudarnos! Utilice cualquier calculadora gráfica, de mano o en línea, para graficar f (x) y encontrar el valor de y más alto en la tabla o en un gráfico. Esto es lo que debería ver. La altura máxima de la patada fue de aproximadamente 32,4 pies.

Gráfico de la pelota pateada

Problema 2

Un saltador de esquí profesional salta de una rampa de 10 pies de altura y alcanza una altura máxima de 25 pies del suelo después de 4 segundos. ¿Cuántos segundos durará su salto?

Jersey de esquí

Información dada: la intersección con el eje y ( 0,10 ), el vértice ( 4,25 )

Forma a utilizar: forma de vértice f (x) = a (x – h) 2 + k

Desconocido: la segunda intersección con el eje x (el momento del aterrizaje) y el coeficiente principal

Use la intersección en y como un punto adicional y sustitúyala para xey en la forma del vértice

Ahora que encontramos el coeficiente principal, podemos usarlo con el vértice para tener la ecuación que modela la trayectoria del salto de esquí en el tiempo: f (x) = -.94 (x – 4) 2 + 25. Cuando grafica Verá que la segunda intersección con el eje x está en 9.1, lo que en este escenario significa que el saltador de esquí aterrizó (con suerte en sus esquís) justo después de 9 segundos.

Modelo de la altura del salto de esquí en el tiempo

Resumen de la lección

La función cuadrática tiene tres formas:

• estándar f (x) = ax 2 + bx + c, donde a es el coeficiente principal y determina la curvatura de la parábola; c es la intersección con el eje y (el punto de partida)
• vértice f (x) = a (x – h) 2 + k, donde (h, k) es el vértice, el valor y más alto o más bajo de la función
• factorizado f (x) = a (x – r 1 ) (x – r 2 ), donde los valores r son los ceros (intersecciones x) de la función

La trayectoria de un objeto lanzado al aire se puede modelar utilizando cualquiera de las tres formas. Graficar una función nos da las características clave de una parábola: el coeficiente principal, las intersecciones xey, y el vértice.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador