Modelado con funciones polinomiales

Modelado con funciones polinomiales

Supongamos que la ciudad de Álgebra descubrió un tiburón martillo cerca de la costa de la ciudad en 2010. ¡Aquí hay un hecho interesante! Los tiburones martillo son asexuales, lo que significa que la hembra puede reproducirse por sí misma, ¡no se necesita macho! Por supuesto, este hecho alarmó a los funcionarios de la ciudad, por lo que comenzaron a rastrear el número de tiburones martillo cerca de la costa cada año, y el siguiente cuadro muestra cuántos tiburones martillo, H , estaban presentes cada año, x , después de 2010.

Se llamó a algunos biólogos marinos para analizar las tendencias de la población de los tiburones con la esperanza de mantener la población bajo control, y encontraron que los datos en el gráfico se pueden modelar utilizando la siguiente función:

• H = (1/6) x 3 + (1/2) x 2 + (1/3) x

Este es un ejemplo de modelado con funciones polinomiales. Una función polinomial es la suma de términos que contienen la misma variable con diferentes exponentes enteros positivos. El exponente más alto de un polinomio se llama grado del polinomio, y la forma general de un polinomio es cuando se escribe con los exponentes del término en orden descendente. Por ejemplo, algunas de las formas generales de polinomios se muestran en la imagen.

Vemos que el polinomio que representa la población de tiburones tiene grado 3, y es un polinomio cúbico en forma general. Hablando de eso, ¿cómo se les ocurrió a los expertos este polinomio para modelar los datos dados? ¡Vamos a explorar!

Método de diferencias finitas

Al intentar encontrar una función polinomial para modelar algunos datos dados, el primer paso es siempre encontrar el grado de la función polinomial. Podemos hacer esto usando el método de diferencias finitas , que involucra los siguientes pasos:

1. Encuentre las diferencias entre los valores y, o salidas, de los puntos de datos. Si son constantes, puede detenerse y la función polinomial tendrá grado 1. Si no son constantes, continúe con el paso 2.
2. Encuentre la diferencia entre las diferencias que acaba de encontrar. Si son constantes, puede detenerse y el polinomio tendrá grado 2. Si no son constantes, repita este paso hasta que sean constantes. El número de veces que las diferencias tardan en volverse constantes es el grado del polinomio.

Por ejemplo, considere el conjunto de puntos de datos:

Para encontrar el grado de un polinomio que podría modelar los datos, primero encontramos las diferencias entre los valores de y .

Dado que las diferencias no son constantes, vamos al paso 2 y encontramos las diferencias de las diferencias que acabamos de encontrar.

Esta vez, las diferencias tienen un valor constante de 2, así que nos detenemos aquí. Como se necesitaron dos rondas para obtener una diferencia constante, el polinomio tendría grado 2.

Todos juntos, usamos los siguientes pasos para encontrar una función polinomial para modelar un conjunto dado de puntos de datos.

1. Encuentre el grado del polinomio usando el método de diferencias finitas.
2. Escribe la forma general de la función polinomial.
3. Conecte sus puntos de datos para crear un sistema de ecuaciones. El número de ecuaciones en el sistema debe ser igual al número de coeficientes en la forma general del polinomio.
4. Resuelve el sistema de ecuaciones resultante. Luego, reemplace estos valores en la forma general de la ecuación. Este es tu modelo.

Hay muchas formas de resolver sistemas de ecuaciones, y cada una de ellas constituiría una lección en sí misma, por lo que esta lección solo se concentrará en el proceso de encontrar el modelo, no en resolver sistemas.

Esto puede parecer mucho, pero si lo damos paso a paso, ¡podemos hacerlo!

Aplicar los pasos

Consideremos nuestro ejemplo del tiburón nuevamente. Ya conocemos la función polinomial que se puede usar para modelar los datos, pero veamos cómo se derivó esta función tomando los puntos de datos a través de nuestros pasos. Primero encontraríamos el grado de los polinomios usando el método de diferencias finitas como se muestra en la imagen.

Vemos que se necesitan tres rondas para encontrar las diferencias, por lo que el polinomio tendrá grado 3, como se esperaba. Podemos pasar al paso 2, que es escribir la función polinomial en forma general. La forma general de una función polinomial de grado 3 es la siguiente:

• H = eje 3 + bx 2 + cx + d

¡Hasta ahora tan bueno! El siguiente paso es crear un sistema de ecuaciones. En este caso, la forma general del polinomio tiene cuatro coeficientes; un , b , c , y d , por lo que necesitamos para conectar cuatro puntos de datos (por separado) en la forma general del polinomio para crear un sistema de cuatro ecuaciones. Depende de usted qué puntos de datos usar.

Terminamos con el siguiente sistema de ecuaciones:

a + b + c + d = 1

8 un + 4 b + 2 c + d = 4

27 a + 9 segundo + 3 c + d = 10

64 a + 16 segundo + 4 c + d = 20

La solución de este sistema de ecuaciones da que un = 1/6, b = 1/2, c = 1/3, y d = 0, que sólo nos deja con el último paso de conectar un , b , c , y d en el forma general de la función polinomial para obtener:

• H = (1/6) x 3 + (1/2) x 2 + (1/3) x

¡Ah-ja! ¡Así es como lo hicieron! Ahora pueden usar este modelo para analizar las tendencias de la población de los tiburones martillo cerca de la costa de la ciudad y mantener a todos a salvo, ¡incluidos los tiburones!

Resumen de la lección

Podemos modelar fenómenos del mundo real usando funciones polinomiales, donde una función polinomial es una suma de términos que contienen la misma variable elevada a diferentes exponentes enteros positivos. Para hacer esto, podemos usar lo que se llama el método de diferencias finitas . Esto implica encontrar el grado del polinomio, luego usar la forma general del polinomio junto con los puntos de datos dados para establecer un sistema de ecuaciones que podamos usar para encontrar los coeficientes de la función polinomial.

Debido a que tener un modelo para representar datos se puede usar para analizar y hacer predicciones sobre una situación dada, este proceso de modelado con funciones polinomiales es extremadamente útil. Definitivamente es otro para incluir en nuestra caja de herramientas matemáticas, ¡así que lo tenemos a mano!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador