Modelado lineal y exponencial a partir de situaciones del mundo real

Modelado lineal y exponencial

Suponga que usted y su amiga Mary están en el carnaval y van a jugar una carrera de caballos mecánicos. Ambos están observando algunas rondas antes de elegir qué caballo quieren predecir que ganará el juego. Observa que el caballo uno siempre viaja a una velocidad constante de principio a fin. También nota que el caballo acelera dos veces más lentamente al principio y luego bastante rápido después de un rato. Puede que no te des cuenta, pero estos caballos se pueden modelar con modelos matemáticos llamados modelos lineales y exponenciales.

Cuando un fenómeno aumenta o disminuye a un ritmo constante, como el caballo número uno, se puede modelar utilizando un modelo lineal. Un modelo lineal es un modelo matemático en el que el mayor exponente de las variables en el modelo es uno, y cuando se grafica este tipo de modelo, el gráfico es una línea. Por ejemplo, el caballo uno se puede representar con el siguiente modelo lineal:

y = 8,4 x

donde y es la distancia que ha recorrido el caballo, en pulgadas, yx es la cantidad de tiempo que ha pasado, en segundos. ¿Notas que el exponente más alto tanto en y como en x es uno? Esto nos dice que este es un modelo lineal, por lo que su gráfico debería ser una línea. ¡Vamos a ver!

¡Bastante seguro! La gráfica del modelo es una línea.

Ahora, consideremos el caballo dos. Resulta que el patrón que adopta el caballo dos es exactamente el patrón que puede modelarse mediante un modelo exponencial. Un modelo exponencial es un modelo matemático en el que la variable está en el exponente. La gráfica de un modelo exponencial aumenta lentamente al principio, luego más rápidamente, o disminuye rápidamente al principio y luego más lentamente.

Usamos el siguiente modelo exponencial para el caballo dos:

y = 1,57 x – 1

donde y es la distancia recorrida, en pulgadas, yx es el tiempo, en segundos. Vemos que la variable x está en el exponente, entonces sabemos que este es un modelo exponencial. Echemos un vistazo al gráfico y veamos si coincide con el patrón que hemos observado en el caballo dos.

¡Si! Comienza aumentando lentamente y luego va más rápido, ¡tal como esperábamos!

Uso de modelos lineales y exponenciales para resolver fenómenos del mundo real

Ahora que sabemos qué son los modelos lineales y exponenciales, y cómo se pueden usar para modelar fenómenos del mundo real (como una carrera de caballos), veamos cómo usamos estos modelos para resolver problemas. Para ello, ¡volvamos a las carreras!

Suponga que la carrera de caballos en el carnaval es tal que dura una cantidad de tiempo variable y el caballo que esté en primer lugar al final de ese tiempo gana. Básicamente, esto dice que estás adivinando cuánto durará la carrera, ya que las velocidades de los caballos adoptan el mismo patrón para cada carrera.

Mary y tú decidís intentarlo. Usted apuesta al caballo uno para ganar y María apuesta al caballo dos para ganar. La carrera termina durando 10 segundos. ¿Quién ganó, tú o Mary? Bueno, todo lo que tenemos que hacer es conectar 10 por x en cada uno de los modelos, y el que haya ido más lejos gana.

Parece que su caballo avanzó 84 pulgadas en 10 segundos, y el caballo de Mary avanzó 89,99, o unas 90 pulgadas. Bueno, esta vez perdiste, así que dile a Mary que quieres volver a intentarlo. Una vez más, usted apuesta por el caballo uno y Mary apuesta por el caballo dos. Sin embargo, esta vez, la carrera solo dura 5 segundos. ¿Quién gana esta vez? ¡Conectemos x = 5 en ambos modelos para averiguarlo!

Esta vez, su caballo fue de 42 pulgadas y el caballo de Mary fue de solo 8.54 pulgadas. ¡Ganaste! Ahora que está a la altura de las victorias, decide ir a celebrar con una oreja de elefante en el puesto de comida. ¡Mmm!

Qué modelo usar

Consideremos un ejemplo de cómo determinar qué tipo de modelo usar en un escenario dado. Suponga que está tratando de averiguar la cantidad de medicamento que queda en su sistema unas horas después de haberlo tomado. Su médico le dijo que el medicamento sale del cuerpo con bastante rapidez durante las primeras dos horas, pero luego se excreta más lentamente.

¿Qué modelo crees que usarías en este caso, lineal o exponencial? Bueno, sabemos que el medicamento no sale del cuerpo a un ritmo constante, por lo que no puede ser lineal, y también sabemos que abandona el cuerpo rápidamente al principio y luego más lentamente. ¡Ajá! ¡Aquí es precisamente cuando deberíamos usar un modelo exponencial!

¡Sip! El gráfico verifica que este es definitivamente un modelo exponencial. Si la medicación hubiera estado saliendo del cuerpo a un ritmo constante, habríamos utilizado un modelo lineal y la gráfica habría sido una línea.

Resumen de la lección

Los modelos lineales y exponenciales son modelos matemáticos que se pueden utilizar para modelar fenómenos del mundo real. Los modelos lineales se utilizan cuando un fenómeno cambia a un ritmo constante, y los modelos exponenciales se utilizan cuando un fenómeno cambia de forma rápida al principio, luego más lenta o lenta al principio y luego más rápida. La gráfica de un modelo lineal es una línea y la gráfica de un modelo exponencial aumenta lentamente al principio y luego más rápidamente, o disminuye rápidamente al principio y luego más lentamente.

Debido a que las cosas en este mundo cambian constantemente, las tasas de cambio surgen con bastante frecuencia, por lo que es bueno que ahora conozcamos dos modelos diferentes que podemos usar para representar diferentes fenómenos en función de su tasa de cambio.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador