Permutación: definición, fórmula y ejemplos

Introducción a las permutaciones

Una permutación es una disposición u ordenación de varios objetos distintos. Por ejemplo, las palabras ‘top’ y ‘pot’ representan dos permutaciones (o arreglos) diferentes de las mismas tres letras.

Permutaciones que involucran repeticiones

Digamos que estamos tomando una prueba, que consta de cinco preguntas de opción múltiple. Hay cuatro respuestas diferentes (de la a a la d ) para elegir para cada pregunta. ¿Cuál es el número total de formas en que podríamos responder las cinco preguntas del examen?

Una forma de pensar sobre este problema es la siguiente: centrémonos en la primera pregunta del examen. Cuantas opciones tenemos? La respuesta a esta pregunta es cuatro, ya que podemos elegir cualquier respuesta de la a a la d. Luego hacemos la misma pregunta para cada pregunta sucesiva, y claramente, hay cuatro formas de responder a cada una de ellas. Por lo tanto, el número total de formas de completar la prueba es el producto de:

Dado que tenemos el mismo número de opciones para cada pregunta, se repite el mismo escenario para cada pregunta del examen. Podemos generalizar nuestros cálculos y afirmar que si hay n opciones y r repeticiones, entonces el número de permutaciones o arreglos viene dado por:

Permutaciones que no involucran repeticiones

Ahora consideremos una situación algo diferente. Supongamos que tenemos cuatro teléfonos móviles de la misma marca y modelo, pero cada uno es de un color diferente, por lo que son objetos distintos. Compramos cuatro estuches distintos para ellos. ¿De cuántas formas tenemos para colocar los cuatro teléfonos móviles diferentes en los cuatro estuches?

Podemos enumerar todos los arreglos posibles y luego contarlos:

Podemos ver que hay 24 permutaciones únicas. Nos gustaría saber si es posible calcular el número total de permutaciones sin enumerar todos los arreglos y luego contarlos. Resulta que es bastante fácil hacer esto si usamos un enfoque sistemático del problema.

Comencemos con la primera carcasa del teléfono celular: ¿cuántas opciones tenemos? La respuesta es cuatro, ya que cualquiera de los cuatro celulares podría colocarse en el primer caso. Cuando hacemos la misma pregunta sobre el segundo caso, nos damos cuenta de que ya no tenemos cuatro opciones, porque ya colocamos un teléfono celular en el primer caso, y ahora nos quedan tres teléfonos celulares. Esto significa que tenemos tres opciones al colocar un teléfono en el segundo caso.

En cuanto al tercer caso, solo nos quedan dos teléfonos, o dos opciones. Y cuando llegamos al cuarto caso, solo tenemos un teléfono para colocar en él, por lo que solo hay una opción. Por lo tanto, la cantidad de formas de colocar cuatro teléfonos celulares diferentes en cuatro casos diferentes es (4) (3) (2) (1) = 24.

Comparando este escenario con el anterior que involucró la prueba de opción múltiple, podemos ver que aquí no hay repeticiones, ya que una vez que se selecciona un objeto (como un teléfono celular colocado en un estuche), ya no está disponible para su selección. Cuando no hay repeticiones involucradas, el número de permutaciones de n objetos distintos viene dado por n !, Donde n ! es el factorial del entero n.

Grupos de objetos de cualquier tamaño

Este escenario no implica repeticiones, pero es diferente a la situación anterior. Por ejemplo, comenzando con los mismos cuatro teléfonos celulares de diferentes colores, ¿cuántos arreglos de dos teléfonos podemos formar? En lenguaje matemático, describimos esta situación como el número de permutaciones de 4 objetos, tomados dos a la vez.

La figura nos muestra el número de arreglos posibles.

Observamos que hemos contado un total de 12 posibles permutaciones. Si bien siempre podemos enumerar todos los arreglos posibles y luego contarlos, si tenemos una gran cantidad de objetos, el proceso se vuelve bastante tedioso. Por lo tanto, los matemáticos han ideado una fórmula que podemos usar. El número total de permutaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, se define mediante la fórmula de permutación:

Un símbolo alternativo para una permutación es el relativamente sencillo P ( n , r ).

Aplicando esta fórmula a nuestro escenario de n = 4 teléfonos móviles, tomados r = 2 a la vez, obtenemos la misma respuesta que obtuvimos al contar todos los arreglos:

Vale la pena señalar que desde 0! = 1, la fórmula de permutación también se puede usar cuando r = n , en cuyo caso se simplifica a nuestro resultado anterior de n !. Este caso especial se puede describir como n objetos tomados n a la vez.

Ejemplos

1.) ¿De cuántas formas hay de completar un cuestionario que consta de 5 preguntas ‘verdaderas’ o ‘falsas’? Este problema involucra 5 situaciones repetibles, con n = 2 (para verdadero o falso) y r = 5. Por lo tanto, el número total de posibles permutaciones viene dado por:

2.) Una familia se muda a una nueva casa; poseen televisores de 40 pulgadas, 36 pulgadas y 32 pulgadas. La familia decide que colocarán un televisor en la sala, uno en el comedor y otro en el dormitorio de los padres. ¿Cuántas situaciones diferentes son posibles?

Dado que no podemos colocar el mismo televisor en más de una habitación al mismo tiempo, no hay repeticiones involucradas. Por lo tanto, ¡el número de permutaciones es simplemente 3! = 6.

3.) Tina tiene 18 libros en el escritorio de su computadora y se está quedando sin espacio de trabajo libre. Compra una estantería y decide poner 12 de sus libros en la nueva estantería. ¿Cuántos arreglos son posibles para los 12 libros en la nueva estantería?

Necesitamos encontrar el número de permutaciones posibles con 18 objetos distintos, tomados 12 a la vez. Usando la fórmula de permutación con n = 18 y r = 12, tenemos:

Como podemos ver, ¡Tina tiene casi 9 billones de opciones!

Resumen de la lección

El número de posibles permutaciones de n objetos en r selecciones repetibles viene dado por:

El número de posibles permutaciones de n objetos distintos viene dado por

n !.

El número de posibles permutaciones de n objetos distintos, tomados r a la vez, viene dado por

Rodrigo Ricardo Editor y fundador