Permutación y Combinación: Definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es la permutación?

Una pregunta muy común en matemáticas es qué es la permutación. Una permutación es una de varias formas posibles de ordenar o organizar un conjunto o número de elementos. Con las permutaciones, todos los elementos dentro de un grupo se utilizan y organizan en un orden específico. Específicamente, para que una disposición de elementos se considere una permutación, ninguno de los elementos se puede usar más de una vez y el orden específico en el que estén organizados será importante.

¿Qué es la combinación?

Otra pregunta muy común es ¿qué es la combinación? Hay diferentes formas de escribir la definición de combinación, pero generalmente todas dicen lo mismo. Una combinación es una forma de seleccionar ciertos elementos dentro de un grupo de elementos. A diferencia de las permutaciones, el orden en el que se seleccionan los elementos no importa. Específicamente, para que una selección de elementos sea una combinación, los elementos deben seleccionarse del mismo grupo, ningún elemento se puede usar más de una vez y el orden del elemento no importará.

Además, ciertos tipos de combinaciones permiten la repetición. Si voy a una heladería y me permiten elegir 3 sabores de un total de 20 sabores. Podría decidir elegir los tres exactamente iguales. Este es un ejemplo de combinación con repetición. Aquí no importa el orden en el que elijo mis sabores, pero se me permite repetir el sabor que elijo en tantas cucharadas como se me permita tomar. Las combinaciones con repetición se calculan de forma ligeramente diferente a las combinaciones normales. Hacia el final de esta lección, discutiremos un método para calcular combinaciones con repetición.

Permutación versus combinación

En la sección anterior aprendimos una clave muy importante. Esa clave es que cuando se trata de permutación versus combinación, debe haber una distinción entre tener que poner los elementos en un orden específico o simplemente tener que seleccionar los elementos de un grupo. A veces puede resultar complicado determinar si el orden importa en una situación, en cuanto a permutaciones y combinaciones. La siguiente tabla de ejemplos puede resultar útil a la hora de poder distinguir entre una permutación (cuando el orden importa) y una combinación (cuando el orden no importa).

Mirando de cerca, las tablas muestran que las permutaciones consisten en organizar elementos de una manera específica, mientras que las combinaciones consisten en seleccionar elementos de un grupo.

Notación factorial

A la hora de calcular el valor de una permutación o una combinación, existe una notación muy importante que será útil en cada cálculo. Esta notación se llama factorial.

Digamos, por ejemplo, que tengo 7 libros que quiero colocar en un estante. Si quisiera saber cuántas formas totales son posibles de ordenar esos siete libros, configuraría mi cálculo para que se vea así: {eq}7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 {/eq}.

Este cálculo funciona porque para el primer libro, hay siete libros en total entre los que puedo elegir para ponerlos primero en el estante. Una vez que puse mi primer libro en el estante, ahora tengo 6 libros en total entre los que puedo elegir para colocar mi próximo libro en el estante. Una vez que ese libro está en el estante, ahora tengo cinco libros en total entre los que puedo elegir para colocar mi próximo libro en el estante, y así sucesivamente.

Ahora imagina si tuviera que colocar 80 libros en un estante. Tomaría mucho tiempo multiplicar cada número desde 80 hasta 1. ¡Aquí es cuando resulta útil usar un factorial!

Cuando los números (específicamente los enteros positivos) se multiplican en orden descendente consecutivo hasta 1, se llama factorial. ¡Los factoriales se denotan como {eq}n! {/eq}, donde n representa el número entero positivo.

Ahora, en lugar de tener que multiplicar {eq}80\cdot79\cdot78\cdot77\cdot76…..\cdot1 {/eq}, ¡simplemente podemos escribir {eq}80! {/eq} en la calculadora y deja que la calculadora haga todo el trabajo.

Por último, es importante señalar que, aunque los factoriales no incluyen el cero, ¡todavía es posible hacer {eq}0! {/eq}. Solo recuerda {eq}0!=1 {/eq}

Fórmula de permutación

El cálculo de permutaciones se puede completar tanto manualmente mediante razonamiento deductivo y pensamiento crítico utilizando el principio fundamental de conteo, como automáticamente mediante una fórmula. Echemos un vistazo a ambos métodos.

Supongamos que hay 16 personas que quieren formar un grupo. Para que su grupo sea aprobado por una junta de revisión, deben tener un presidente, un vicepresidente y un tesorero en el cargo. ¿De cuántas maneras se pueden cubrir esos tres cargos?

Cálculo manual (el principio fundamental de conteo)

El principio fundamental de conteo establece que si puedes elegir un elemento de un grupo de «m» elementos, un segundo elemento de un grupo de «n», el tercer elemento de un grupo de «p» elementos, y así sucesivamente, etc., entonces el número total de opciones será igual a {eq}m \cdot n \cdot p \cdot…… {/eq}.

Podemos utilizar este concepto para calcular manualmente cualquier problema de permutación.

Comenzamos los cálculos manuales de este problema considerando el número de puestos que deben cubrirse. En este caso, hay 3 puestos que deben cubrirse; presidente, vicepresidente y tesorero. Dado que hay 16 personas en total, podemos usar esa información para calcular manualmente el total de formas posibles. Para el puesto de presidente, hay 16 personas en total que pueden ser elegidas. Una vez elegido el presidente, quedan 15 personas en total que pueden ser elegidas para el puesto de vicepresidente. Por último, una vez que se elige al vicepresidente, quedan 14 personas en total que pueden ser elegidas para el puesto de tesorero. Por tanto, el cálculo sería {eq}16*15*14=3360 {/eq}. Entonces hay 3.360 maneras de elegir a tres personas para esos tres puestos.

Cálculo automático

Exploramos el cálculo automatizado de este problema analizando la fórmula de permutaciones. La siguiente fórmula puede resultar útil al calcular permutaciones:

{eq}_nP_r=\frac{n!}{(nr)!} {/eq}, donde «n» cosas se toman «r» a la vez.

En este problema específico se están eligiendo 16 personas de 3 a la vez para los puestos solicitados. Por lo tanto, {eq}n =16 {/eq} y {eq}r = 3 {/eq}, dando los cálculos automáticos con la fórmula como:

{eq}_{16}P_3=\frac{16!}{(16-3)!}=\frac{16!}{13!}=3360 {/eq}.

Ejemplos de permutación

Los siguientes ejemplos utilizan la fórmula de permutación para responder las preguntas dadas.

Ejemplo de permutación 1

Cinco cantantes actuarán en un espectáculo nocturno el fin de semana. ¿De cuántas maneras diferentes se puede programar que actúen los cantantes?

Para este problema, se eligen 5 personas y se eligen las 5 a la vez. Esto significa que {eq}n=5 {/eq} y {eq}r=5 {/eq}. {eq}_5P_5=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=\frac{120}{1}=120 {/eq}. Entonces hay 120 maneras diferentes.

Ejemplo de permutación 2

Se han elegido nueve bandas para tocar en un concierto, pero sólo hay tiempo suficiente para que toquen cinco de ellas. ¿De cuántas maneras podemos elegir las 5 bandas que tendrán tiempo suficiente para tocar?

En este problema, se eligen 9 bandas de 5 a la vez, por lo que {eq}n=9 {/eq} y {eq}r=5 {/eq}. {eq}_9P_5=\frac{9!}{(9-5)!}=\frac{9!}{4!}=15120 {/eq}. Entonces hay 15,120 maneras.

Fórmula combinada

El cálculo de combinaciones, a diferencia de las permutaciones, solo se puede completar mediante una fórmula. No es posible utilizar el principio fundamental de conteo para combinaciones porque no se eligen elementos en un orden específico.

La siguiente fórmula puede resultar útil al calcular combinaciones:

{eq}_nC_r=\frac{n!}{(nr)!r!} {/eq}, donde «r» elementos se toman de «n» elementos.

Ejemplos de combinación

Los siguientes ejemplos de combinación utilizan la fórmula de combinación para responder las preguntas dadas.

Ejemplo de combinación 1

Una boleta electoral pide a los votantes que seleccionen a tres comisionados municipales de un grupo de seis candidatos. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Para este problema, elegimos 3 elementos de 6 elementos. Entonces {eq}r=3 {/eq} y {eq}n=6 {/eq}. {eq}_6C_3=\frac{6!}{(6-3)!3!}=\frac{6!}{3!3!}=20 {/eq}. Entonces, hay 20 maneras.

Ejemplo de combinación 2

Te ofreces como voluntario para ayudar a llevar a los niños al zoológico en un evento benéfico, pero solo caben 8 de los 17 niños en tu camioneta. ¿Cuántos grupos diferentes de 8 niños puedes conducir?

Para este problema, elegimos 8 elementos de 17. Entonces {eq}r=8 {/eq} y {eq}n=17 {/eq}. {eq}_{17}C_8=\frac{17!}{(17-8)!8!}=\frac{17!}{9!8!}=24310 {/eq}. Entonces, hay 24,310 maneras.

Ejemplo de combinación 3

¿Cuántos comités diferentes se pueden formar de 5 profesores y 15 estudiantes si cada comité está formado por 2 profesores y 10 estudiantes?

Para este problema, tenemos dos grupos diferentes. En el primer grupo, profesores, elegimos 2 elementos de 5 elementos, por lo que {eq}r=2 {/eq} y {eq}n=5 {/eq}. Para el segundo grupo, elegimos 10 elementos de 15, por lo que {eq}r=10 {/eq} y {eq}n=15 {/eq}. Esto significa que necesitaremos completar 2 combinaciones y luego multiplicarlas.

Para los profesores, tenemos {eq}_5C_2=\frac{5!}{(5-2)!2!}=\frac{5!}{3!2!}=10 {/eq}.

Para los estudiantes, tenemos {eq}_{15}C_{10}=\frac{15!}{(15-10)!10!}=\frac{15!}{5!10!}=3003 { /eq}.

Ahora multiplica ambos grupos para obtener {eq}10\cdot 3003=30030 {/eq} Entonces, 30,030 formas.

Combinación con fórmula de repetición

Ahora que hemos terminado de explorar el significado de la combinación y las combinaciones regulares, veamos las combinaciones con repetición. Recuerda que para que un problema sea una combinación, el orden no debe marcar la diferencia. Sin embargo, en algunos casos, puede tener una pregunta en la que el orden no importa y se le permite repetir el uso de algunos de los elementos dentro del grupo determinado. Los problemas son combinaciones con repetición y se calculan mediante la siguiente fórmula:

{eq}\frac{(n + r – 1)!}{r!(n – 1)!} {/eq}, donde «r» elementos se toman de «n» elementos y se permite la repetición.

Combinación con ejemplos de repetición

Los siguientes ejemplos utilizan la fórmula de combinación con repetición para responder las preguntas dadas.

Combinación con repetición Ejemplo 1

Suponga que tiene 6 tipos diferentes de sándwiches entre los que puede elegir para hacer su lista de almuerzo de la semana. Si te permiten repetir cualquiera de los 6 tipos diferentes de sándwiches, ¿de cuántas maneras puedes elegir 7 sándwiches para llevar al almuerzo esta semana en el trabajo?

Para este problema, elegimos 7 elementos de 6 y se permite la repetición. Entonces {eq}r=7 {/eq} y {eq}n=6 {/eq}.

{eq}\frac{(7 + 6 – 1)!}{7!(6 – 1)!}=\frac{12!}{7!5!}=792 {/eq}. Entonces 792 maneras.

Combinación con repetición Ejemplo 2

Una granja tiene cabras, ovejas, perros, patos y caballos. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar tres mascotas para llevarlas a casa?

Para este problema, elegimos 3 elementos de 5 y se permite la repetición. Entonces {eq}r=3 {/eq} y {eq}n=5 {/eq}.

{eq}\frac{(5 + 3 – 1)!}{3!(5 – 1)!}=\frac{7!}{3!4!}=35 {/eq}. Entonces 35 maneras.

Resumen de la lección

En esta lección, discutimos tres conceptos: permutaciones, combinaciones y combinaciones con repetición.

Las permutaciones son una forma de organizar elementos en un orden específico. ¡La clave para recordar acerca de las permutaciones es que el orden importa! Las permutaciones se pueden calcular utilizando el principio fundamental de conteo o mediante su fórmula {eq}_nP_r=\frac{n!}{(nr)!} {/eq}, donde «n» cosas se toman «r» a la vez.

Las combinaciones son una forma de seleccionar elementos de un grupo de elementos. ¡La clave para recordar acerca de las combinaciones es que el orden no importa! Las combinaciones solo se pueden calcular mediante su fórmula: {eq}_nC_r=\frac{n!}{(nr)!r!} {/eq}, donde «r» elementos se toman de «n» elementos.

Por último, las combinaciones con repetición son una forma de seleccionar elementos de un grupo, pero también de poder repetir la selección dentro de ese mismo grupo. El orden tampoco importa cuando se trata de combinaciones con repetición. Las combinaciones con repetición solo se pueden calcular usando su fórmula: {eq}\frac{(n + r – 1)!}{r!(n – 1)!} {/eq}.

( norte + r – 1)! / r !( n -1)!

4. Como elegimos 3 de 11 piezas de sushi, n = 11 y r = 3. Entonces:

(11+3-1)! / 3!(11 – 1)! = 13! / 3!10! = 13*12*11 / 3*2*1 = 286

Por tanto, podemos combinar 3 piezas de sushi de 286 formas diferentes cuando hay 11 piezas para elegir y se permite la repetición.

Continua con:

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Rodrigo Ricardo Editor y fundador