Pruebas de círculos

¿Qué es un círculo?

Imagínese cómo, sin usar imágenes, describiría un círculo a alguien que nunca antes había visto uno. Difícil, ¿no? Sin embargo, para discutir las propiedades de un círculo, necesitamos una definición precisa de círculo. Los matemáticos definen círculos diciendo que un círculo es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia, r , de algún centro. A esa distancia la llamamos r , el radio . Con esta definición en la mano, estamos preparados para investigar algunas propiedades interesantes de los círculos.

Todos los círculos son similares

La primera propiedad interesante de los círculos que vamos a definir es que todos los círculos son similares. En geometría, decimos que dos formas son similares si podemos tomar una forma y de alguna manera moverla y luego dilatarla para que coincida completamente con la otra.

Tomemos, por ejemplo, estos dos círculos.

Podemos mover el círculo más pequeño de la derecha para que su centro coincida con el centro del círculo más grande.

Luego podemos agrandar el círculo más pequeño hasta que su radio sea exactamente el mismo que el del círculo más grande.

Ahora los dos círculos coinciden completamente. Por lo tanto, los dos círculos originales son similares. Observe que no hay nada especial en los dos círculos originales utilizados. La longitud del radio de cada círculo ni siquiera está definida. Esto significa que replicamos este proceso con dos círculos cualesquiera, lo que nos lleva a la conclusión de que todos los círculos son similares.

Ángulos inscritos

Cuando hablamos de propiedades de los círculos, nos gusta hablar de ángulos inscritos. Un ángulo inscrito es un ángulo determinado por dos cuerdas que se cruzan en el mismo punto en el borde de un círculo, como en la imagen de abajo.

La siguiente propiedad que vamos a probar es que los ángulos inscritos con puntos extremos que intersecan los extremos de un diámetro, como en la siguiente imagen, son ángulos rectos. Observe que en la siguiente imagen, D es el centro del círculo y el segmento de línea BC es un diámetro. En la siguiente explicación, las etiquetas del diagrama a continuación se utilizarán para ayudar a ilustrar esta prueba.

Nuestro objetivo final es mostrar que ∠ BAC es un ángulo recto, o que m ∠ BAC = 90 °. Para ayudarnos con esta prueba, vamos a dibujar en un segmento de línea desde A a D .

Primero, observe que dado que Δ ABC es un triángulo, sus ángulos interiores suman 180 °. Así,

m ∠ BAC + m ∠ ABC + m ∠ ACB = 180 °.

Con el nuevo segmento de línea que dibujamos entre A y D , dividimos ∠ BAC en dos partes, ∠ BAD y ∠ DAC . Dado que esos dos ángulos se combinan para darnos ∠ BAC , sabemos que m ∠ BAD + m ∠ DAC = m ∠ BAC . Así, por sustitución, tenemos,

m ∠ MALO + m ∠ DAC + m ∠ ABC + m ∠ ACB = 180 °.

Aquí es donde la línea que trazamos se vuelve especialmente útil. Eche un vistazo a Δ ADB y Δ ADC . Al mirarlos de cerca, nos damos cuenta de que en realidad son ambos triángulos isósceles. Esto se debe a que los segmentos de línea AD , BD y CD son todos radios de nuestro círculo, lo que significa que todos tienen la misma longitud. Dado que AD = BD , el triángulo Δ ADB es isósceles, lo que significa m ∠ ABC = m ∠ BAD . De manera similar, dado que AD = CD , Δ ADC es isoceles ym ∠ ACB= m ∠ DAC .

Con estos nuevos descubrimientos en la mano, podemos tomar,

m ∠ MALO + m ∠ DAC + m ∠ ABC + m ∠ ACB = 180 °

y usa la sustitución para reescribirlo como,

m ∠ MALO + m ∠ DAC + m ∠ MALO + m ∠ DAC = 180 °.

Esto significa que,

2 ( m ∠ MALO + m ∠ DAC ) = 180 °,

significa que,

m ∠ MALO + m ∠ DAC = 90 °.

Dado que m ∠ BAD + m ∠ DAC = m ∠ BAC , eso significa que m ∠ BAC = 90 °, ¡o un ángulo recto!

Tangentes y radios

Para nuestra prueba final, intentaremos encontrar otro ángulo recto dentro de un círculo. Este estará entre un radio y una tangente. Una tangente es una línea que se cruza con un círculo una vez, y solo una vez, como se muestra en la siguiente imagen.

Al mirar la imagen de arriba, parece que la tangente y el radio forman ángulos rectos entre sí. Para probar esto, en lugar de mostrar que estamos en lo correcto y que el ángulo debe ser un ángulo recto, vamos a demostrar que es imposible que no sea ​​un ángulo recto.

Primero, suponga que el ángulo entre el radio y la tangente en la imagen de arriba no es un ángulo recto. Ahora, vamos a construir el segmento más corto línea desde el centro del círculo a la tangente (esto es un segmento de otra que el radio). Sabemos por experiencias previas de geometría que para que este nuevo segmento de línea tenga la longitud más corta posible, debe intersecar la tangente en ángulo recto. Dado que este segmento de línea es más corto que el radio del círculo, su punto final en la tangente debe estar dentro del círculo, lo que significa que la tangente viene dentro del círculo. Esto es imposible , ya que implicaría que la tangente interseca el círculo dos veces, cuando en realidad solo lo interseca una vez. Por tanto, es imposible que el ángulo entre el radio y la tangente no sea un ángulo recto.

Resumen de la lección

En esta lección se demostraron tres propiedades importantes de los círculos, basadas en la definición de que un círculo es un conjunto de puntos a una distancia común, llamada radio , desde un punto determinado. Primero, probamos que todos los círculos son similares usando traslación y dilatación. A continuación, probamos que los ángulos inscritos que se cruzan con los extremos de un diámetro son siempre ángulos rectos al construir dos triángulos isósceles. Finalmente, mostramos que un radio que interseca una tangente en un círculo debe ser perpendicular a esa tangente al mostrar que es imposible que no sea un ángulo recto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador