Pruebas de existencia en matemáticas: definición y ejemplos

Pruebas de existencia

Suponga que tiene una ardilla llamada Pelusa como mascota. Un día, mientras hablas con un amigo sobre Flufftail, un extraño te escucha y te señala que una ardilla es un animal poco común para tener como mascota. Luego continúa diciéndote que debido a que es tan raro, no cree que Flufftail exista. A lo que respondes que Flufftail ciertamente existe, ¡y puedes probarlo! Lo crea o no, este escenario tiene un significado matemático. Verá, en matemáticas, probar que existe Flufftail se consideraría una prueba de existencia.

Cuando un teorema establece que existe un elemento, llamémoslo x , que satisface una determinada propiedad, llamamos a ese teorema un teorema de existencia , y la prueba del teorema se llama prueba de existencia . Por ejemplo, considere estos teoremas de existencia:

• Primero, existe un número real x , tal que 2 x – 6 = 8.
• En segundo lugar, existe un número primo p , tal que p + 8 también es un número primo.
• Y, finalmente, existe una función f , tal que f ( x ) = f ‘( x ).

Esta es solo la punta de un iceberg muy grande. ¡Hay muchos más por ahí! Dado que este tipo de teoremas aparecen con tanta frecuencia en matemáticas, es realmente útil saber cómo realizar pruebas de existencia.

Cómo probar pruebas de existencia

De vuelta a Flufftail. Le dijiste al extraño que podías probar que Pelusa existe. ¿Tiene alguna idea sobre cómo hacer esto? El sentido común probablemente le está diciendo que lo demuestre simplemente mostrándole Flufftail a este extraño, y el sentido común es correcto. Probar teoremas de existencia es tan simple como demostrar que hay un elemento que satisface el teorema.

Técnicamente, las pruebas de existencia se llevan a cabo encontrando o construyendo un elemento, x , que satisface el teorema. Debido a esto, estos tipos de pruebas también se denominan comúnmente pruebas constructivas . Hagamos un intento. Considere el primer teorema de existencia que se usó anteriormente.

• Existe un número real x , tal que 2 x – 6 = 8.

Para probar que este enunciado es verdadero, encuentre o construya un número x que satisfaga la ecuación 2 x – 6 = 8. Puede usar prueba y error para encontrar una x que dé un enunciado verdadero. También puedes usar álgebra y resolver x en la ecuación. Hagamos lo último, ya que es más limpio y sencillo.

Al resolver para x , obtienes x = 7. Por lo tanto, has encontrado un número real que hace que la ecuación sea verdadera, porque 2 (7) – 6 = 8. ¡Ta-da! Acabas de demostrar informalmente el teorema. ¡Eh! Eso fue bastante fácil. ¡Probemos con otro!

Otro ejemplo

Observe el segundo teorema de la existencia anterior en esta lección.

• Existe un número primo p , tal que p + 8 también es un número primo.

¿Qué tienes que hacer para probar este teorema? Si estás pensando que necesitamos encontrar un número primo, p , que satisfaga el teorema, ¡estás en lo correcto! Así es exactamente como se llevan a cabo estas pruebas de singularidad. Antes de llegar a la parte de prueba, asegúrese de saber qué es un número primo. Un número primo es un número que solo es divisible por uno y por sí mismo. Bien, vamos a probar esto.

Hmm. . . esta vez, no hay ecuación que resolver, por lo que puede ser necesario un poco de conjeturas. Comience con el primer primo y vea qué sucede cuando le agrega 8. El primer número primo es 2, así que súmele 8 y vea si obtiene un número primo.

2 + 8 = 10

Obtenemos 10, y 10 es divisible por 1, 2, 5 y 10, por lo que no es un número primo. Por lo tanto, 2 no funciona y el teorema no se ha probado hasta ahora. No hay problema. Simplemente pase al siguiente número primo, que es 3, para ver si 3 satisface el teorema. Agregue 8 y vea si obtiene un número primo.

3 + 8 = 11

¡Ah-ja! Obtienes 11, y 11 solo es divisible entre 1 y él mismo, por lo que es un número primo. Por tanto, 3 satisface el teorema. Es decir, existe un número primo, p , tal que p + 8 también es un número primo, porque 3 es primo y 3 + 8 = 11 también es primo. ¡Prueba hecha! En este caso, hay más números primos que satisfacen este teorema (por ejemplo, 5 lo hace, porque 5 + 8 = 13 y 13 es primo), pero todo lo que tenía que hacer era demostrar que existía un número primo que satisfacía el teorema de para probarlo.

Resumen de la lección

Cuando un teorema matemático establece que existe un elemento, llámelo x , que satisface una determinada propiedad, llama a ese teorema un teorema de existencia , y la prueba de un teorema se llama prueba de existencia . Para probar un teorema de existencia, o realizar una prueba de existencia, encuentre o construya un elemento, x , que satisfaga el teorema. Esto suena bastante simple, y en algunos casos lo es, pero también hay algunas pruebas de existencia realmente complicadas que están completamente fuera del alcance de esta lección. Sin embargo, sigue practicando este tipo de pruebas, ¡y abordarás las más difíciles en poco tiempo!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador