Paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. En pocas palabras, un paralelogramo se ve así:
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El perímetro de un paralelogramo se calcula como la suma de las longitudes de todos los lados.
Echemos un vistazo a algunas de las pruebas básicas para paralelogramos, incluidas las relacionadas con los lados opuestos, ángulos y diagonales que se encuentran en estas formas geométricas.
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Pruebas de paralelogramos
Lados opuestos
Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
Considere el paralelogramo ABCD , donde el lado AB es paralelo al lado CD ( AB || CD ) y el lado AD es paralelo al lado BC ( AD || BC ).
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Ahora, vamos a dibujar una línea que une los puntos A y C . Esta línea actúa como transversal para el par de líneas paralelas AB y CD .
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Como puede ver, la línea AC ha creado dos triángulos: ABC y CDA .
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En estos dos triángulos, de acuerdo con el teorema de los ángulos alternos internos de las líneas paralelas,
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y tienen aire acondicionado lateral en común. Por lo tanto, de acuerdo con la propiedad ángulo-lado-ángulo de los triángulos, los triángulos ABC y CDA son congruentes.
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Esto significa que los otros dos lados de estos triángulos son iguales: AB = CD y BC = AD . Por tanto, los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
Ángulos opuestos
Los ángulos opuestos en un paralelogramo también son iguales.
Considere el mismo paralelogramo ABCD , donde AB || CD y AD || BC .
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Ahora, vamos a dibujar una línea que une los puntos A y C . Esta línea actúa como transversal para ambos pares de líneas paralelas.
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Aquí, podemos ver que los ángulos alternos internos son iguales.
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Por lo tanto,
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De manera similar, dibujar otra transversal entre los puntos B y D probaría que los otros dos ángulos son iguales. Entonces,
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Por lo tanto, vemos que los ángulos opuestos en un paralelogramo son iguales.
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Ángulos consecutivos
La suma de ángulos consecutivos en un paralelogramo es 180 grados.
Considere el paralelogramo ABCD nuevamente, donde AB || CD y AD || BC .
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Extendamos las líneas AB , CD y BC para formar el ángulo x .
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Designamos el ángulo ABC como 180 – x ; su ángulo interior alternativo también sería 180 – x . Esto significa que el ángulo BCD es:
180 – (180 – x ) = x
Entonces, la suma de los ángulos ABC y BCD es 180 grados. Lo mismo puede decirse de los otros dos ángulos.
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Diagonales
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan o se dividen entre sí.
Considere el paralelogramo ABCD , donde AB || CD y AD || BC .
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Dibujemos dos diagonales AC y BD que se cruzan entre sí en el punto E .
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Ahora, usando el teorema de los ángulos alternos internos, podemos ver que ángulo 1 = ángulo 2 y ángulo 3 = ángulo 4.
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Además, lado AD = BC . Usando la propiedad ángulo-lado-ángulo, los triángulos DAE y BCE son congruentes.
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Por lo tanto, los dos lados restantes de cada triángulo deben ser iguales.
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Como tal, podemos ver que el punto de intersección E es el punto medio para ambas diagonales. Por lo tanto, ¡hemos demostrado que las diagonales se bisecan entre sí en un paralelogramo!
Resumen de la lección
Esta lección definió un paralelogramo como un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Su perímetro se define como la suma de las longitudes de los cuatro lados. Demostramos los siguientes cuatro teoremas relacionados con los paralelogramos:
- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales; podemos probar esto usando el teorema de ángulos alternos internos .
- Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
- La suma de los ángulos consecutivos de un paralelogramo es 180 grados.
- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
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