Teoremas de unicidad
¿Alguien te ha dicho alguna vez que eres único? Si es así, ¡es un gran cumplido! Él o ella te estaba diciendo que eres único y que no hay nadie como tú ahí fuera. Lo crea o no, la palabra «único» aparece mucho en matemáticas, especialmente en conjeturas, lemas (proposiciones), teoremas y demostraciones. Cuando esto sucede, «único» tiene exactamente el mismo significado que en el contexto del cumplido. Único significa que una variable, número, valor o elemento es único y el único que puede satisfacer las condiciones de una declaración determinada.
A continuación se muestran algunos ejemplos sencillos de enunciados matemáticos que involucran la palabra ‘único’:
- La solución a la ecuación de la forma ax + b = 0, donde un y b son números reales, es único.
- Para cada ángulo m , donde 0 ≤ ∠ m ≤ 90, hay un ángulo único ∠ n , donde 0 ≤ n ≤ 90, de modo que el ángulo my el ángulo n son complementarios.
Aquí hay algunos ejemplos más complicados de enunciados matemáticos que involucran la palabra ‘único’:
- Cada polinomio no constante con coeficientes de números reales es un producto de polinomios únicos irreducibles con coeficientes de números reales.
- Cada número compuesto se puede expresar como un producto único de números primos, aparte del orden de los números primos en el producto.
- Hay una función única f , tal que f ‘( x ) = f ( x ) yf (0) = 1.
Observe que todas estas declaraciones involucran la palabra ‘único’. Siempre que un enunciado matemático en un teorema involucra la palabra ‘único’, o establece que solo hay un elemento que satisface una determinada condición, llamamos al teorema un teorema de unicidad , y llamamos a la demostración del teorema una prueba de unicidad . Echemos un vistazo a cómo probar este tipo de teoremas. No se preocupe. Seguiremos con los teoremas de unicidad más simples para demostrar el proceso.
Pruebas de singularidad
Ahora que sabemos qué son los teoremas de unicidad, hablemos de una estrategia general para demostrar este tipo de teoremas. Todo se reduce al hecho de que «único» significa único en su clase. Si un elemento en un teorema de unicidad es único, solo hay un tipo de ese elemento que satisfará el teorema. Basado en este hecho, si asumiéramos que hay dos elementos que satisfacen el teorema dado, entonces esos dos elementos deben ser iguales.
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Hmm. . . eso tiene sentido. Pero, ¿cómo podemos utilizar esta idea para realizar pruebas de unicidad? Resulta que toda esa lógica conduce a unos sencillos pasos para realizar una prueba de unicidad.
Primero, suponga que hay dos elementos que satisfacen el teorema. Entonces, puede deducir lógicamente que estos dos elementos deben ser iguales.
Ejemplo uno
Consideremos nuestro ejemplo más simple del comienzo de la lección. Tenemos la declaración de que la solución a la ecuación de la forma ax + b = 0, donde un y b son números reales, es único. Para probar esta afirmación, comenzamos asumiendo que hay dos soluciones para esta ecuación. Llamémoslos r y s . Por lo tanto,
ar + b = 0 y como + b = 0
Ahora, pasamos al paso dos del proceso de prueba. Comenzamos reconociendo que si ar + b es igual a 0, y como + b también es igual a 0, debe darse el caso de que ar + b = as + b . A continuación, simplificamos esta ecuación: ar + b = as + b.
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Por lo tanto, ar = as y as r = s. Esto demuestra que la solución de la ecuación ax + b = 0 donde a y b son números reales es único.
¡Bueno, eso no fue tan difícil! Por supuesto, este fue un ejemplo muy simple. Consideremos el segundo ejemplo que mencionamos anteriormente. Este es un poco más desafiante solo porque necesitamos comprender qué son los ángulos complementarios.
Ejemplo dos
El segundo enunciado de unicidad dice que para cada ángulo m , donde 0 ≤ ∠ m ≤ 90, hay un ángulo único n , donde 0 ≤ ∠ n ≤ 90, de modo que el ángulo my el ángulo n son complementarios. Para empezar, debemos estar familiarizados con el hecho de que dos ángulos son complementarios si sus medidas tienen una suma de 90 grados. Muy bien, con eso en mente, intentemos esto.
Comenzamos asumiendo que dos ángulos, digamos el ángulo j y el ángulo k , son complementarios a un ángulo m . Ahora solo tenemos que demostrar que ∠ j = ∠ k . Dado que ambos ángulos son complementarios al ángulo m , tenemos lo siguiente:
∠ m + ∠ j = 90
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∠ m + ∠ k = 90
Dado que ambas sumas son iguales a 90, debe darse el caso de que las sumas sean iguales. Es decir, ∠ m + ∠ j = ∠ m + ∠ k . Ahora, usamos esto para deducir que ∠ j = ∠ k .
∠ m + ∠ j = ∠ m + ∠ k
∠ m + ∠ j – ∠ m = ∠ m + ∠ k – ∠ m
∠ j = ∠ k
¡Ta-da! Hemos demostrado que ∠ j = ∠ k , lo que demuestra nuestro teorema. Ese fue un poco más difícil, ¡pero lo logramos!
Resumen de la lección
La palabra única significa único en su clase. En matemáticas, cuando un teorema contiene enunciados que usan la palabra ‘único’ o que solo hay un elemento que satisface una determinada condición, lo llamamos teorema de unicidad , y la prueba de un teorema de unicidad se llama prueba de unicidad . La estrategia general a seguir cuando se trata de este tipo de pruebas es la siguiente:
- Suponga que hay dos elementos que satisfacen el teorema.
- Deducir lógicamente que estos dos elementos deben ser iguales.
Como hemos visto, las pruebas de singularidad simples son bastante fáciles de realizar. Por supuesto, en matemáticas, este tipo de pruebas pueden volverse bastante complicadas, dependiendo del teorema de unicidad que se esté probando. ¡Buen trabajo en las pruebas que completamos juntos en esta lección! ¡Eres un individuo bastante brillante y único!
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