Trapezoides isósceles
Irene acaba de comprar una casa y está muy emocionada con el patio trasero. Es un poco nerd de las matemáticas y planea crear un jardín en forma de trapecio isósceles. Pinta el césped de blanco donde estará su futuro jardín elevado.
En geometría, un trapezoide es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos. Un trapezoide en el que los lados no paralelos son iguales se llama trapezoide isósceles .
ABCD es un trapezoide isósceles con AB paralelo a CD (lo escribimos así en matemáticas: AB || CD ), y la línea AD es igual a la línea BC .
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Pero, ¿cómo puede Irene probar que su jardín es un trapezoide isósceles? Veamos algunos teoremas importantes relacionados con el trapezoide isósceles para ayudarla.
Ángulos base
Los ángulos formados entre los lados no paralelos y los lados paralelos, llamados ángulos de base , son iguales en un trapezoide isósceles. En el trapezoide ABCD del césped de Irene , los ángulos C y D son iguales.
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Para probar este teorema, dibujemos una línea CE paralela a AD tal que ADCE se convierta en un paralelogramo.
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En este paralelogramo, sabemos que la línea AD = la línea CE . También sabemos que la línea AD = línea BC , por lo que también sabemos que la línea BC = línea CE .
Ahora, como la línea BC y la línea CE son iguales, el triángulo BCE se convierte en un triángulo isósceles. Por tanto, los ángulos CBE y CEB son iguales.
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Entendemos que la recta AD y la recta CE son paralelas y la recta AE es la transversal. Entonces, la suma de los ángulos interiores en el mismo lado, el ángulo DAE y el ángulo CEA es 180 grados.
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Entonces,
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Por tanto, los ángulos DAB y CBA son iguales.
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A continuación, sabemos que ADCE es un paralelogramo, por lo que los ángulos opuestos serían iguales.
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Ahora, los ángulos CBE y BCD serían iguales porque son ángulos internos alternos para las líneas paralelas AE y CD .
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Ya sabemos que los ángulos CEB y CEB son iguales. Por lo tanto,
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Por lo tanto, se demuestra que los ángulos de base en un trapezoide isósceles son iguales.
Diagonales
Las diagonales de un trapezoide isósceles tienen la misma longitud. Entonces, en el trapezoide isósceles ABCD de Irene , las diagonales AC y BD son iguales.
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Para probar este teorema, centrémonos en los dos triángulos formados, DAC y CBD . Aquí, sabemos que la línea AD = BC , los ángulos ADC y BCD son iguales y el lado CD es común. Irene recuerda la propiedad de lado-ángulo-lado de los triángulos, que si, en dos triángulos, los dos lados y su ángulo del primer triángulo son congruentes con dos lados y su ángulo con el segundo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Por lo tanto, los triángulos DAC y CBD son congruentes.
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Por lo tanto, los lados correspondientes restantes son iguales, AC = BD . Por lo tanto, se demuestra que las diagonales son iguales.
Ángulos opuestos
La suma de los ángulos opuestos en el trapezoide isósceles de Irene es 180 grados. Se puede probar esto sabiendo que el ángulo de A es igual al ángulo de B , y el ángulo de C es igual al ángulo de D .
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También sabe que AB es paralelo a CD , lo que hace que los pares de ángulos A y D y B y C sean ángulos interiores en el mismo lado de la transversal. Es decir, estos pares son suplementarios o su suma es de 180 grados.
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Ahora, sustituyendo ángulos iguales,
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Por tanto, demuestra que los ángulos opuestos son suplementarios en un trapezoide isósceles.
Basándose en los ángulos de la base, las diagonales y la suma de los ángulos opuestos, puede plantar su jardín y estar segura de que su forma es de hecho un trapezoide isósceles.
Resumen de la lección
En esta lección, aprendió que un trapezoide que tiene lados iguales no paralelos es un trapezoide isósceles . Luego examinamos teoremas importantes relacionados con estos y los probamos con pasos detallados.
- Los ángulos de la base (ángulos formados entre lados no paralelos y lados paralelos) son iguales en un trapezoide isósceles.
- Las diagonales de un trapezoide isósceles tienen la misma longitud.
- La suma de los ángulos opuestos en un trapezoide isósceles es 180 grados.
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