Puntos de concavidad e inflexión en gráficos
Entendiendo la concavidad
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El otro día estaba pensando en esto: realmente quiero una rampa de skate. Así que le pregunté a un amigo mío: ‘¿Puedes construirme una rampa para patinar? ¿Uno que tenga, tal vez, 10 pies de alto y 10 pies de largo? Volvió a mí con esto. Una rampa bonita, plana, de 10 pies de alto y 10 pies de largo. Fue muy divertido, pero eso no es una rampa para patinar. Entonces dije: ‘Oye, amigo. Inténtalo de nuevo.’ Regresó con esta rampa. También mide 10 pies de alto y 10 pies de ancho, pero no es exactamente lo que quería. Cuando lo probé, digamos que terminé el día en el hospital. Entonces, ¿qué pasó aquí? ¿Por qué me dio una rampa que se ajusta a todo lo que pedí, pero no es lo que quería? No lo dibujé, pero tal vez haya una mejor manera.
¿Cómo puedo cruzar si quiero una rampa con una pendiente así? Comparemos las dos rampas que hizo y la rampa que yo quería. Si los grafica, su altura en función de la distancia, tengo la rampa plana y aburrida; Tengo la rampa mala de enviarme al hospital; y tengo la rampa que realmente quería. Ahora, todos estos están aumentando. Todos tienen 10 pies de largo y 10 pies de alto. ¿Cuál es la diferencia entre estas rampas? Bueno, las derivadas son diferentes. Esta rampa plana y aburrida tiene una derivada constante en cada valor de x, por lo que cada lugar a lo largo del ancho de la rampa tiene la misma derivada. La rampa para enviarme al hospital, si grafica la derivada, está disminuyendo así a medida que subo la rampa. La rampa que realmente quiero tiene una derivada creciente a medida que subo la rampa, no una derivada decreciente. En matemáticas, llamamos a esto la concavidad., cómo está cambiando una derivada. En el caso de la rampa que quiero, la derivada se hace más grande. La rampa es lo que llamamos cóncava hacia arriba. Es una ‘taza’. Puedes ver eso aquí. Si la derivada se hace más pequeña, como en el caso de la rampa que me envió al hospital aquí, entonces tengo algo cóncavo. Voy a llamar a eso un ‘ceño fruncido’. Me está enviando al hospital y parece un ceño fruncido. Así que tenemos nuestro ceño fruncido y nuestra taza, el cóncavo hacia abajo y el cóncavo hacia arriba.
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Cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo
Tomemos una derivada más cercana en el caso de que tengamos una línea cóncava hacia arriba. Esta es la copa. Imagínese que estoy sentado aquí arriba ya punto de bajar por mi rampa. Puede ver que se parece mucho a una taza cuando mira la sección transversal. Aquí tengo la altura en función de la distancia. Si miro la derivada de la altura en función de la distancia, veo que a veces es negativa y otras es positiva. Es negativo cuando voy bajando, y positivo cuando subo por el otro lado de la rampa. Si tomo la segunda derivada, entonces si tomo la derivada de la primera derivada– eso siempre es positivo. Esta línea, la derivada aquí, siempre apunta hacia arriba, por lo que la segunda derivada siempre será positiva en un caso en el que tengamos algo que sea cóncavo. Para algo que es cóncavo hacia abajo, bueno, este es nuestro ceño fruncido. Mira, estoy sentado en la parte superior de esta rampa. Puedes ver que estoy a punto de caerme de un lado o del otro, ¿verdad? Entonces eso es un gran ceño fruncido. Esto es cóncavo hacia abajo. Aquí, a medida que se mueve de izquierda a derecha, la derivada es, al principio, positiva y luego se vuelve negativa. Entonces la derivada está disminuyendo. Si observa la segunda derivada, la segunda derivada siempre es negativa. Entonces, si tiene un caso en el que la segunda derivada es negativa, es posible que esté mirando algo cóncavo hacia abajo o con el ceño fruncido.
Ejemplos de cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo
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Veamos otro ejemplo. Digamos que tienes un gráfico como este. Me imagino a mí mismo con esquís bajando esta colina y luego saltando. ¿Es este el caso en el que tenemos algo que es cóncavo hacia abajo, un ceño fruncido, o tenemos un cóncavo hacia arriba, una especie de taza? En este gráfico en particular, tenemos ambos. Cerca de la cima de la colina, esto parece un ceño fruncido. Al pie de la colina, definitivamente es una taza. Entonces, ¿qué significa esto? Si graficamos la derivada, la derivada será negativa a lo largo de esta primera parte porque la pendiente de la tangente siempre apunta hacia abajo hasta el final aquí cuando apunta hacia arriba. Pero la derivada en realidad disminuirá donde tenemos este ceño fruncido y aumentará donde tenemos esta taza. Así que tenemos ambos. Nosotros’ Tenemos un lugar donde la segunda derivada va a ser negativa – este ceño fruncido aquí – y un lugar donde la segunda derivada es positiva. Eso está aquí, en la taza.
Tengo un punto donde la segunda derivada, que es la derivada de la primera derivada, es cero. Entonces, la segunda derivada es cero entre la región cóncava hacia abajo, mi ceño fruncido, y la región cóncava hacia arriba, la copa. Voy a llamar a esto un punto de inflexión. Ese es el punto en el que vas entre una taza, cóncava hacia arriba y un ceño fruncido, cóncavo hacia abajo. Entonces tienes taza, ceño fruncido, taza, ceño fruncido, taza, ceño fruncido. Entre cada uno de estos hay un punto de inflexión. En ese punto, la segunda derivada es igual a cero. Saquemos un ejemplo realmente complicado. Aquí tenemos ceños fruncidos y tazas por todos lados. Tengo un ceño fruncido y una taza y un ceño fruncido y una taza y un ceño fruncido y una taza. Codifiquemos por colores dónde tenemos los ceños fruncidos y las tazas. Entre los ceños fruncidos y las tazas, voy a marcar un punto donde la segunda derivada es igual a cero. Así que esos son todos estos puntos aquí. También voy a marcar dónde la primera derivada es igual a cero. Sabemos que la primera derivada es igual a cero en lugares que pueden o no ser un mínimo o un máximo. Aquí tengo un valor mínimo, y aquí tengo un valor máximo, pero también están estos puntos en el medio donde la primera derivada es igual a cero y la segunda derivada es igual a cero. Este no es un máximo ni un mínimo, pero es un punto de inflexión.
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Resumen de la lección
Revisemos. Concavidad , también conocida como: ¿Erin va a terminar en el hospital después de su incidente con la patineta o va a terminar en los Juegos Olímpicos? Tenemos líneas que son cóncavas, como una taza, y ese es el tipo de línea que me enviará a los Juegos Olímpicos. Tenemos líneas que son cóncavas hacia abajo; esos son ceños fruncidos. Eso me va a enviar al hospital. Entre una región cóncava hacia arriba de una línea y una región cóncava hacia abajo de una línea, es decir, entre una taza y un ceño fruncido, tenemos lo que se conoce como puntos de inflexión . Ahí es donde la segunda derivada de la función es igual a cero.
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