¿Qué es la regla del trapezoide?

Revisión de la suma de Riemann

Tienes una gran idea. ¡Vas a poner una rampa para andar en patineta en tu patio trasero! Pero para hacer esto, necesita mucha tierra para pasar por debajo de la rampa. ¿Cuánta suciedad necesitas realmente?

Digamos que quieres que la rampa siga la curva y = x ^ 2 + 1. Quieres que vaya de x = 0 a 2. Digamos que es de 0 metros a 2 metros. Para saber cuánta tierra querrás poner debajo de esta rampa, siéntate y piensa en todo lo que has aprendido en cálculo. Dices, bueno, podría usar una suma de Riemann para estimar el área entre mi rampa y el suelo. Debido a que no desea pasar todo el día midiendo qué tan alta es esta rampa, desea usar una suma de Riemann con solo un segmento a lo largo de esta curva. Lo que haría una suma de Riemann sería medir la altura en algún lugar a lo largo de esta curva y multiplicar esa altura por 2 metros. Esa es la distancia en x. La altura multiplicada por el ancho aquí le daría el área de la sección transversal y le indicaría cuánta suciedad necesitaría.

Pero pensemos en esto. Si mide en el extremo izquierdo, entonces, si tiene una suma de Riemann en el lado izquierdo, obtendrá un área de 2 porque la altura en el lado izquierdo es 1 multiplicado por el ancho, que es 2, lo que le da un área de 2. Si usa una suma de Riemann de punto medio, su área se estimará en 4. Si usa una suma de Riemann del lado derecho, el área de la sección transversal se estimará en 10. Esto suena absolutamente fantástico, pero nada de estas proyecciones parecen correctas.

Área de un trapezoide volteado de lado

¿En serio? ¿Esta rampa parece algo plano? ¿Me gusta esto? ¿Tiene alguna razón para creer que el área estimada por la suma de Riemann del lado izquierdo o del lado derecho estaría cerca del área de la sección transversal real? Bueno, ¿qué pasa con este punto medio? ¿Eso se ve bien? Simplemente no lo sabes. Entonces, en lugar de tomar múltiples rebanadas y hacer una suma de Riemann con dos áreas diferentes, decide no usar rectángulos y en su lugar estimar esta área con un trapezoide.

Usar trapezoides para estimar el área

Revisemos. El área de un trapezoide es igual a la altura del trapezoide multiplicada por el promedio de los dos lados paralelos . Entonces, si tiene un trapezoide que se ve así, vamos a multiplicar la altura por w sub 1, más w sub 2, todo dividido por 2 (Área = (Altura) * ( w sub 1 + w sub 2) / 2). w sub 1 es esta longitud aquí, en el lado corto, y w sub 2 es el lado largo. Si volteamos este trapezoide de lado, el área sigue siendo la misma, pero ahora tenemos la altura horizontal y w sub 1 en el lado izquierdo del trapezoide ywsub 2 en el lado derecho del trapezoide. Bueno, esto se parece mucho a nuestra función.

Aquí está nuestra función, y puedo ver un contorno trapezoidal entre el lado izquierdo, 0, y el lado derecho, 2.

En este caso, w sub 1 es la altura en el lado izquierdo, w sub 2 es la altura en el lado derecho, y mi altura es en realidad la distancia entre 0 y 2 en el eje x . Si conecto estos puntos en la fórmula de mi área, obtengo que el área es igual al valor de la función en el lado izquierdo más el valor de la función en el lado derecho, todo dividido por 2 veces mi delta x . Esa es la diferencia entre el valor del lado izquierdo de x y el valor del lado derecho de x . Entonces, en este caso, es 2-0.

Usar un trapezoide para estimar el área en la gráfica de la función

Enchufe los puntos para y = x ^ 2 + 1 de 0 a 2. f (x) en el lado izquierdo es igual af (0). f (x) en el lado derecho es f (2) – todo eso dividido por 2 veces mi delta x , que es 2 – 0. Si introduzco 0 en mi función y = x ^ 2 + 1, obtengo 1. Si conecto 2 a esa función, obtengo 5. Entonces mi área se convierte en ((1 + 5) / 2) * 2, y eso es solo 6.

Podría obtener una estimación aún mejor dividiendo esto en dos rebanadas, y tomando el área trapezoidal de dos rebanadas diferentes y sumarlas para obtener la suma total. Si hago eso, entonces mi primera área va de f (0) af (1), entonces mi delta x es 1 – 0, y mi segunda área va de f (1) af (2), entonces mi delta x es 2 – 1. Si introduzco los valores de f (0), f (1) yf (2), encuentro que el área bajo la curva se estima en 5.

La regla del trapecio

Puede escribir esto usando notación de suma . Sin embargo, si todas las rebanadas son del mismo tamaño, hay una fórmula que puede recordar. Y eso es que el área debajo de la curva es delta x / 2, entonces ese es el ancho de cada rebanada dividido por 2, por f ( x sub 0), entonces ese es el valor de tu función en tu extremo izquierdo, más 2 f ( x sub 1) + 2 f ( x sub 2) veces – así sucesivamente y así sucesivamente; entonces, lo que estoy haciendo aquí es que tengo dos de cada punto en el medio de mi región, más f ( x sub n ). Entonces, si he dividido esto en n rebanadas: ese es el punto en el extremo derecho.

La regla del trapezoide

Aquí hay un ejemplo en el que hemos dividido nuestra región en tres porciones diferentes. Tengo f ( x sub 0) en el lado izquierdo, y f ( x sub 1) está en el lado derecho del segmento uno. f ( x sub 2) está en el lado derecho de la región dos y f ( x sub 3) está en el lado derecho de la región tres o el segmento tres. Entonces, mi área en este caso es (delta x ) / 2 veces el valor de f ( x sub 0), que es el punto en el lado izquierdo del primer corte, más 2 f ( x sub 1), ese es el punto en el lado derecho de la primera rebanada, más 2f ( x sub 2), ese es el punto del lado derecho del segundo corte, más f ( x sub 3), que es el punto del lado derecho del último corte. … Podrías estar pensando, ¿cómo puedo recordar esto?

Todo lo que estamos haciendo aquí es echar un vistazo a cada rebanada y qué es f (x) en la intersección entre cada una de esas rebanadas. Para cada rebanada, agregaremos el lado izquierdo y el derecho de esas rebanadas. Entonces, en el caso del segmento uno, agregaré f ( x sub 0) yf ( x sub 1). Sin embargo, para cualquier punto que esté entre dos cortes, lo contaremos dos veces. Por eso hay este 2 al frente.

Probemos un ejemplo. Digamos que queremos encontrar el área debajo de la curva y = f (x) , que es 16 – x ^ 2, entre x = 0 y x = 4. Voy a dividir esto en cuatro porciones diferentes, todas de igual ancho. Aquí lo he cortado, en cuatro porciones, y cada porción tiene un ancho de 1. Entonces mi área total será ( delta x / 2) * y sub 0 – entonces, ese es este punto aquí, podemos llamar it f ( x sub 0) o y sub 0 – más 2 y sub 1 – ese es este punto aquí, porque debe contarse tanto para este segmento aquí como para el segmento aquí – más 2 ysub 2 – ese es este punto aquí; está en el medio de la rebanada 2 y la rebanada 3, así que la contamos dos veces, más 2 y sub 3, esa es esta rebanada aquí, de nuevo, está entre la rebanada 3 y la rebanada 4, así que la contamos dos veces, más y sub 4 – ese es el punto aquí; no está entre dos rebanadas, está al lado de una rebanada, así que solo la contamos una vez.

Usando la regla del trapezoide para el ejemplo final

delta x x x

Resumen de la lección

Repasemos la regla del trapezoide . La regla del trapezoide también es una forma de encontrar el área debajo de una curva, pero en lugar de usar rectángulos para estimar el área, estamos usando trapezoides. Puede hacer esto con la notación de suma, como hicimos con las sumas de Riemann. Entonces, si todos los cortes tienen el mismo ancho, por lo que delta x es una constante, puede usar la regla del trapezoide para encontrar el área. Es decir, el área es igual a delta x dividida por 2 veces el valor en el lado izquierdo de la función más el valor en el lado derecho de la función más 2 veces cualquier punto en el medio. Eso es 2 veces cada punto que está entre dos rebanadas. ( delta x / 2) ( y sub 0 + 2 y sub 1 + 2 ysub 2 + 2 y sub 3 + y sub 4).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador