¿Qué es un árbol de factores? – Definición y ejemplo

Publicado el 28 septiembre, 2023 por Rodrigo Ricardo

Árboles de factores y factores

Cuando hacemos un árbol genealógico, hacemos un cuadro de las personas que vinieron antes que nosotros. Se les llama árboles genealógicos porque tienden a ramificarse a medida que avanzan, ya que cada antepasado da paso a más antepasados. De la misma manera, un árbol de factores muestra los números que se juntan para crear un número mayor y se ramifica a medida que avanza porque cada factor resultante da paso a sus propios factores. En otras palabras, un árbol de factores es una herramienta que descompone cualquier número en sus factores primos.

Antes de entrar en detalles sobre los árboles de factores, debemos revisar los factores. Los factores son simplemente números que se pueden multiplicar para obtener un determinado producto. Por ejemplo, si estamos viendo 2 * 3 = 6, entonces 2 y 3 son factores de 6. Pero, también podríamos decir que 1 * 6 = 6. Entonces 6 tiene cuatro factores: 1, 2, 3 y 6. El negocio de este factor podría complicarse con grandes números porque, en términos generales, cuanto mayor sea el número, más factores tendrá. Ahí es donde entra el árbol de factores.

División de números

Para ver un ejemplo de un árbol de factores, comencemos con 100. Podemos dividir ese número en cualquiera de sus dos factores. En otras palabras, vamos a encontrar dos números que, cuando se multiplican juntos, nos dan un producto de 100. Comencemos con 4 y 25 porque 4 * 25 = 100. Y, al igual que lo haríamos en un árbol genealógico, Ahora vamos a encontrar los ‘ancestros’, o factores, de 4 y 25. Comenzaremos con 4, que podríamos escribir como 2 * 2, así que colocaremos esos factores en el árbol debajo de 4.

árbol de factores

Factores primos

Ahora, si dividiéramos 2 en sus factores, obtendríamos 2 y 1. Entonces, podríamos dividir 2 en 2 y 1 nuevamente. Esto podría continuar infinitamente porque 1 y 2 son los únicos factores de 2. Eso hace que 2 sea un número primo , un número cuyos únicos factores son 1 y él mismo. Entonces, en lugar de tener una cadena interminable de dos y unos en el árbol de factores, nos detendremos en 2. En relación con el árbol de factores, llamamos a los números primos factores primos porque cuando todos se multiplican juntos dan el número original. . Siempre detenemos la rama de un árbol de factores en los factores primos para evitar una cadena infinita de los mismos factores.

Así que hemos terminado con las ramas de 4. Veamos 25. Podríamos escribir ese número como 5 * 5, así que colocaremos esos factores en el árbol ahora. Al igual que 2, 5 es un número primo porque sus únicos factores son 1 y 5. Como es un número primo, terminaremos esas ramas. El árbol de factores no produce necesariamente todos los factores posibles de un número. Por ejemplo, 10 es un factor de 100 (10 * 10), pero no aparece en el árbol.

árbol de factores

Lo que nos da el árbol es la factorización prima de un número. La factorización prima de un número es simplemente la lista de números primos que multiplicarías para obtener un determinado producto. En un árbol de factores, todos los números primos al final de las ramas nos dan los factores primos. Entonces, la factorización prima de 100 es 2 * 2 * 5 * 5, o 2 ^ 2 * 5 ^ 2. Cada número tiene una factorización prima única, al igual que cada persona tiene una huella digital única.

Muchos árboles, una factorización principal

A diferencia de un árbol genealógico, que es fijo y solo puede ocurrir de una manera, algunos árboles de factores tienen diferentes arreglos posibles. Reconsideremos el árbol de factores de 100. Podríamos haber comenzado con 10 * 10 porque, al igual que 25 * 4, también nos da un producto de 100. Establezcamos otro árbol de factores para 100 usando 10 y 10 como el primer par de factores.

árbol de factores

Ahora, desglosaremos 10. Podríamos escribir 10 como 5 * 2, por lo que esos serán nuestros próximos factores en el árbol. Y, dado que 2 y 5 son números primos, terminaremos las ramas allí. Tenga en cuenta que aunque comenzamos con un par de factores diferente para 100, todavía terminamos en la misma factorización prima: 2 ^ 2 * 5 ^ 2. No importa cómo empecemos un árbol de factores, si se completa correctamente, siempre revelará la factorización prima de un número.

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Un gran árbol de factores

Ahora que hemos visto un árbol de factores en acción, desafiémonos con un número mayor. Usaremos un árbol de factores para encontrar la factorización prima de 2,310. Aunque 2,310 es un número mucho mayor que 100, seguiremos los mismos pasos para crear su árbol de factores. De hecho, comenzaremos con 231 y 10 como el primer par de factores.

Podemos escribir 231 como 77 * 3. También podemos descomponer 10 en sus factores, 2 y 5. Ahora tenemos los factores primos de 2, 3 y 5. Pero aún podemos descomponer 77 en 7 * 11. Ahora, todas nuestras ramas terminan en números primos. Entonces, la factorización prima de 2,310 es 2 * 3 * 5 * 7 * 11. Podríamos haber comenzado este árbol con cualquier par de factores, como 1,155 * 2 o 770 * 3. Cuando llevamos a cabo el árbol de factores, aún descubriríamos la misma factorización prima.

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Resumen de la lección

  • Los factores son los números que se multiplican para obtener un determinado producto.
  • Un número primo es un número cuyos únicos factores son 1 y él mismo.
  • Un árbol de factores es una herramienta que descompone cualquier número en sus factores primos.
  • La factorización prima de un cierto número es la lista de números primos o factores primos que multiplicarías para crear ese número determinado.
  • No importa cómo inicie el árbol de factores de un número, siempre le dará la única factorización prima única para ese número.

Términos clave

Árbol de factores: una herramienta que descompone cualquier número en sus factores primos.

Factores: números que puedes multiplicar para obtener un determinado producto.

Número primo: un número cuyos únicos factores son 1 y él mismo (también llamado factores primos)

Factorización prima: la lista de números primos que multiplicaría para obtener un determinado producto.

Los resultados del aprendizaje

Utilice los puntos principales de esta lección mientras se prepara para:

  • Distinguir entre factores y un árbol de factores
  • Comprender el proceso de dividir números.
  • Utilice un árbol de factores

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