Reconocimiento de la simetría gráfica, algebraica y numéricamente sobre el eje X y el eje Y

Reconociendo la simetría

Mírate en un espejo. ¿Que ves? Debería ver un reflejo perfecto de sí mismo y de cualquier cosa que esté detrás o alrededor de usted. Un reflejo es un ejemplo de simetría. El reflejo que ves en el agua, el vidrio o un espejo es una réplica exacta de ti. Toma una hoja de papel y pinta un punto en un lado. Mientras la pintura aún está húmeda, doble ese papel exactamente por la mitad y luego desdóblelo nuevamente. Los puntos serán un reflejo perfecto el uno del otro.

En matemáticas, la simetría es una réplica perfecta de una línea o forma, solo que se invierte. Al mirar líneas simétricas en álgebra, hay diferentes formas en que puede ocurrir la simetría. Por ahora, vamos a ver a través de la simetría x – y Y – ejes.

Este es un ejemplo de simetría en una gráfica. Si dobla el gráfico hacia abajo por la línea central, la línea en forma de U se alineará perfectamente consigo misma. Tiene exactamente la misma forma en cada lado del pliegue.

¿Ves las imágenes en el espejo?

¿Y este? ¿Puedes encontrar la simetría en esta gráfica?

Si dobla el gráfico por la línea horizontal central, la forma de U se alineará perfectamente consigo misma. Al igual que el primer gráfico, este gráfico es simétrico porque tiene la misma forma en cada lado del pliegue.

¿Qué pasa con este gráfico?

Este gráfico no es simétrico, no importa cómo doblemos este gráfico, no terminará con dos líneas simétricas.

Entonces, ¿por qué es importante conocer la simetría? Bueno, primero te ayuda a visualizar las gráficas de ecuaciones. Si se le pide que grafique una ecuación y ya sabe cómo se supone que debe ser esa ecuación, sabrá si la graficó correctamente o mal. También puede ayudarlo a trazar los puntos de una ecuación más rápido. Hablaremos más sobre eso cuando veamos la simetría algebraicamente, pero primero, veamos la simetría gráficamente.

Reconocer la simetría gráficamente

El eje x es la línea horizontal que cruza el centro del gráfico. El eje x te ayuda a trazar puntos y encontrar información en una gráfica.

Este es un ejemplo de simetría en el eje x . Observe que las líneas se reflejan entre sí justo donde se encuentra el eje x . Si este gráfico estuviera en una hoja de papel, entonces podría doblar el papel a lo largo del eje x horizontalmente y tener dos líneas idénticas a ambos lados.

El eje y es la línea que se extiende verticalmente a través del centro del gráfico. El eje y le ayuda a trazar puntos y encontrar información en una gráfica, al igual que el eje x .

La simetría en el eje y es muy similar a la simetría en el eje x . Esta vez, en lugar de buscar doblar la gráfica a lo largo del eje x horizontalmente, ahora buscamos doblar la gráfica a lo largo del eje y verticalmente.

Este es un ejemplo de simetría a lo largo del eje y . Observe que la forma ahora se refleja verticalmente. Puede doblar el gráfico por el centro verticalmente y tendrá dos líneas que se replican o reflejan entre sí.

Este es otro ejemplo de simetría a lo largo del eje y . Esto es similar a la forma de U que vio en los otros ejemplos. Observe que esta forma de U ahora está mirando hacia arriba. Esta es una parábola , una línea en forma de U que siempre es simétrica.

Reconocer la simetría numéricamente

¿Cuáles son algunas otras maneras de determinar si un gráfico es simétrico a través de la x – o Y eje x? Bueno, puedes mirar los puntos de una línea para determinar la simetría.

Un punto en una línea también se conoce como un par ordenado y se identifica por las coordenadas x e y . Similar a las coordenadas del mapa, no hay dos coordenadas exactamente iguales. La coordenada x es el primer número del par ordenado y la coordenada y es el segundo número del par ordenado. Puede usar estos números para identificar la simetría.

Para buscar simetría a lo largo del eje x , debes multiplicar la coordenada y por -1. Volvamos a un ejemplo anterior. Note el punto (4, 3).

Bien, ahora multiplica la coordenada y , que es 3, por -1. ¿Qué sacas? Bien, obtienes -3, lo que nos da el punto (4, -3).

¿Aparece este punto en nuestro gráfico? ¡Si! Se refleja perfectamente en el eje x . Puede tomar cualquier punto a lo largo de esta línea, y si puede encontrar un par coincidente en el eje x con una coordenada y negativa , entonces la línea es simétrica.

Intentemos identificar la simetría en el eje y .

Toma uno o más puntos sobre la mesa. Esta vez, vamos a multiplicar las coordenadas x por -1. Si la línea es simétrica, debería obtener los puntos restantes.

Si trazamos esos puntos y los conectamos, puede ver una parábola perfecta que es simétrica a través del eje y .

Reconocer la simetría algebraicamente

Bien, ¿qué pasa con las ecuaciones? ¿Puedes decir si una ecuación producirá una gráfica simétrica? ¡Si! Usemos la siguiente ecuación como ejemplo: x ^ 3 + y ^ 2 = 4.

Para ver si la ecuación es simétrica a lo largo del eje x , reemplace la y positiva por una y negativa .

Sabemos que y al cuadrado es lo mismo que Y los tiempos y , como negativas Y. veces negativa y nos da un resultado positivo y . Por tanto, estas ecuaciones nos darán los mismos números.

Si termina con la misma ecuación con la que comenzó, entonces la ecuación es simétrica en el eje x .

Algo importante a tener en cuenta aquí: la ecuación de una línea que es simétrica a través del eje x nunca puede ser una ecuación de función. Una función es una ecuación que muestra una relación entre los valores de x e y . Las ecuaciones que son simétricos a través de la x eje y nunca pueden ser funciones debido a que dos de Y -valores siempre van a compartir una x -valor. No hay una relación única entre los x -valores y los Y -valores. Solo puede haber un valor de y para cada valor de x .

Podemos usar la prueba de la línea vertical para ver si una línea en un gráfico es una función. Esta línea no es una función porque la línea vertical llega a más de un punto.

Usando la prueba de la línea vertical, podemos ver que esto no es una función.

De hecho, no importa dónde coloquemos una línea vertical, la línea siempre llegará a más de un punto. Si alguna línea vertical golpea más de un punto, no tiene una ecuación de función.

¿Por qué es esto? Tiene que ver con la relación entre dos números. Digamos que está regando mucho su jardín o llenando una piscina. Usted sabe que cuando usa mucha agua, su factura de agua aumentará. La cantidad de agua que usa tiene una relación única con la cantidad que costará su factura de agua. Ese es un ejemplo de función. No puede usar la misma cantidad de agua y tener una factura con dos precios diferentes, ¿cómo sabría cuál pagar?

Puede encontrar la simetría en el eje y en las ecuaciones reemplazando la x con una x negativa y evaluando la ecuación. Intente encontrar la simetría del eje y en esta ecuación: y = x ^ 2 + 7.

Primero, reemplace la x con una x negativa y luego evalúe la ecuación. En esta ecuación, x se eleva al cuadrado. Por lo tanto, negativos x veces negativo x es igual a un positivo x . Aunque reemplazamos x con una x negativa , obtenemos la misma ecuación. Esta ecuación es simétrica en el eje y .

Puede probar una ecuación para ver si es simétrica en el eje x o en el eje y . Prueba esta ecuación: y ^ 2 – x ^ 2 = 16. Primero, prueba para ver si es simétrica en el eje x reemplazando y positiva con y negativa y evaluando la ecuación.

Obtenemos la misma ecuación, por lo que esta ecuación es simétrica en el eje x . Ahora, prueba para ver si la ecuación es simétrica en todos los y eje x mediante la sustitución positivo x con un negativo x y la evaluación de la ecuación.

También obtenemos la misma ecuación; esto significa que la ecuación también es simétrica en el eje y . ¿Pero como puede ser ésto?

Mira este gráfico. El gráfico muestra una línea que se puede doblar tanto horizontal como verticalmente con líneas simétricas a cada lado de los ejes x e y . Por lo tanto, la gráfica es simétrica tanto para el eje x como para el eje y .

Resumen de la lección

Revisemos. La simetría es cuando hay una réplica perfecta de una línea o una forma. Puede identificar visualmente la simetría gráficamente al plegar la gráfica a lo largo del eje x o y .

El eje x es la línea horizontal que cruza el centro de la gráfica, por lo que si tiene una línea que es simétrica a cada lado de esta línea, entonces es simétrica a través del eje x .

Lo mismo ocurre con el eje y , que es la línea vertical que cruza el centro del gráfico. Si tiene una línea que es simétrica a cada lado del eje y , entonces se considera simétrica a lo largo del eje y .

También puede identificar la simetría numéricamente examinando los puntos de una gráfica. Si cada punto tiene un espejo opuesto, coordenada y – o x – negativa y positiva , entonces hay simetría. La coordenada y es el segundo número que aparece en un punto o par ordenado.

Las líneas simétricas a lo largo del eje x tendrán coordenadas y que son los mismos números positivos y negativos. Las líneas simétricas a lo largo del eje y tendrán coordenadas x que son los mismos números positivos y negativos.

Puede probar la simetría de las ecuaciones reemplazando los valores de y o x en la ecuación con valores negativos de y o x . Si reemplaza y positiva con y negativa y obtiene la ecuación original, entonces tiene simetría en el eje x . Si reemplaza positivos x con negativo x y obtener la misma ecuación, entonces usted tiene simetría a través del y eje x.

Los resultados del aprendizaje

Mire el video para que pueda perseguir los siguientes objetivos:

• Interpretar el significado de la simetría
• Proporcione ejemplos de simetría
• Identificar la simetría tanto gráfica como algebraicamente

Rodrigo Ricardo Editor y fundador