Resolución de ecuaciones complejas: ejemplos y explicación

¿Qué es una ecuación compleja?

Una ecuación compleja es una ecuación que involucra números complejos al resolverla. Un número complejo es un número que tiene tanto una parte real como una imaginaria. Está escrito de esta forma:

En la ecuación anterior, una y b tanto soporte para los números. Por ejemplo, <4 + 3 i > es un número complejo. El o 4 una parte es la parte real del número y el 3 i o b parte es la parte imaginaria del número. Sí, la i significa imaginario.

Números imaginarios

Esta i realidad significa la raíz cuadrada de -1. Al elevarlo al cuadrado, obtendremos -1. No se preocupe por derivar estas fórmulas; solo sé que i al cuadrado es igual a -1 y que i es igual a la raíz cuadrada de -1. ¡Eso te ayudará mucho!

Multiplicar números complejos

Veamos cómo funciona la parte i cuando queremos resolver una ecuación compleja que requiere que multipliquemos dos números complejos.

Comenzamos nuestra multiplicación de la misma manera que lo haríamos si estuviéramos multiplicando dos binomios. Comenzamos multiplicando el 4 con cada término en el segundo par de paréntesis, y luego lo sumamos al 3 i multiplicado por cada término en el segundo par de paréntesis. Cuando multiplicamos dos i juntas, lo trataremos como si hiciéramos una variable.

Cuando terminamos multiplicando dos i juntos, obtenemos i al cuadrado, que ahora sabemos que es igual a -1. Podemos reemplazar nuestra i al cuadrado con -1, lo que nos da:

8 + 26 i + (15 * -1) = 8 + 26 i – 15

Luego simplificamos nuestra respuesta a:

x = -7 + 26 yo

Raíces cuadradas negativas

Ahora, digamos que queremos resolver una ecuación compleja como esta:

En la superficie, esta ecuación puede no parecer muy compleja, pero veamos qué sucede mientras intentamos resolverla. Estamos resolviendo para x , por lo que queremos obtenerlo todo por sí solo. Empezamos moviendo el 4 al otro lado.

Una vez que restamos 4 de cada lado, nos queda x ^ 2 = -4. En este punto, a menos que supiera de la existencia de números imaginarios, normalmente se detendría y diría que no hay solución porque no existe una raíz cuadrada negativa. Pero, hemos aprendido que existe, y se llama i . Entonces, veamos cómo lo usamos en nuestra solución.

Lo que tenemos que hacer es separar la raíz cuadrada de -4 en la raíz cuadrada de -1 por 4. Sabemos que la raíz cuadrada de -1 es i y la raíz cuadrada de 4 es 2, por lo que podemos reemplazarlos con Lo que sabemos. Nuestra respuesta cuando se simplifica se convierte en 2 i .

Resumen de la lección

Hemos aprendido que las ecuaciones complejas nos hacen trabajar con números complejos directamente o los números complejos aparecen durante el proceso de resolución. Los números complejos tienen tanto una parte real como una imaginaria. El imaginario involucra i, que es la raíz cuadrada de -1. Cuando cuadramos la i , se convierte en -1. Esta información nos ayuda a la hora de resolver ecuaciones complejas.