Resolver ecuaciones trigonométricas con soluciones infinitas

Ecuaciones trigonométricas

En esta videolección hablamos sobre ecuaciones trigonométricas . ¿Qué son? ¿Recuerda sus funciones trigonométricas básicas de seno , coseno y tangente ? Bueno, sus ecuaciones trigonométricas son simplemente ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas. Por ejemplo, la ecuación sin x = 1 es un ejemplo de una ecuación trigonométrica. ¿Ves la función seno en esta ecuación?

Sabrá que está buscando y trabajando con una ecuación trigonométrica si ve cualquiera de las funciones trigonométricas en la ecuación o cualquier combinación de las mismas. Tenemos seis de ellos. Son seno, coseno, tangente y sus recíprocos de cosecante, secante y cotangente. Una cosa más: las ecuaciones trigonométricas también tendrán la variable como parte del argumento de la función trigonométrica. Como, en nuestro ejemplo teníamos seno de x donde x es el argumento de la función seno.

Para ayudarnos a resolver este tipo de problemas, podemos usar los botones de función trigonométrica inversa en nuestra calculadora , una calculadora gráfica, o podemos usar el círculo unitario , nuestro círculo especial de radio de 1, que tiene soluciones a ángulos comunes para el coseno. y funciones del seno. Siga mirando y descubrirá cuál de estos métodos es el mejor.

Soluciones infinitas

Hay una característica interesante que tienen las ecuaciones trigonométricas. Y es que tienen una infinidad de soluciones. Puede pensar que esto suena extraño, especialmente porque su calculadora solo devuelve una respuesta. Veamos el gráfico de la función seno y verás algo interesante:

Gráfico de la función seno

¿Ves las olas? Sí, nuestra función seno se representa gráficamente como ondas. ¿Ves que estas ondas siguen cruzando nuestro eje x ? Bueno, cada vez que nuestra gráfica cruza el eje x , cuando y = 0, nos da otra solución. Este gráfico continúa para siempre. Lo que obtiene cuando calcula funciones trigonométricas inversas en su calculadora es la respuesta más cercana al origen. Entonces, si quisiera resolver sin x = 0 , tomaría el seno inverso de 0. Obtengo una respuesta de 0 en mi calculadora, pero en realidad, sin x = 0 tiene un número infinito de soluciones. Como puede ver en el gráfico, obtengo 0 para sen x cada 2pi espacios. Entonces mis respuestas son en realidad x = 0 + 2 * pi * ndonde n representa el número de soluciones adicionales que tenemos. N aumenta en 1 cada vez. Obtenemos x = 0 + 2 * pi * 0 = 0 para nuestra primera solución. La siguiente solución es x = 0 + 2 * pi * 1 = 2pi . El siguiente es x = 0 + 2 * pi * 2 = 4pi . Y así sucesivamente y así sucesivamente.

El período

Este espaciamiento es el período . Es diferente dependiendo de la función trigonométrica que estemos usando. Las funciones seno y coseno tienen un período de 2pi. Esto significa que sus respuestas están separadas por espacios de 2pi. La función tangente, por otro lado, tiene un período de pi. Esto significa que estas respuestas están separadas por espacios pi. Estos son los períodos estándar de nuestras funciones trigonométricas. Estos períodos se pueden cambiar si nuestra ecuación trigonométrica es más compleja. Pero no discutiremos eso en esta lección en video.

Entonces, para esta lección en video, concéntrese en aprender el período estándar de las funciones seno, coseno y tangente. Solo recuerde que el seno y el coseno comparten un período de 2pi mientras que la tangente (que no suena como los otros dos) tiene un período de solo pi .

Ejemplo

Veamos cómo usamos esta información ahora.

Resuelve 2 cos x – 1 = 0.

Para resolver esto, usamos nuestras habilidades de álgebra para primero aislar el cos x. Primero sumamos 1 a ambos lados y luego dividimos por 2. Obtenemos cos x = 1/2 . Ahora, podemos usar nuestra calculadora para realizar la función coseno inversa para aislar la x , o podemos ir a nuestro círculo unitario para ver qué ángulos darán una respuesta de 1/2 para nuestra función coseno.

Una advertencia: si usamos nuestra calculadora, solo obtenemos una respuesta; es posible que no obtengamos todas las respuestas. Usando la calculadora en modo radianes, obtenemos x = cos ^ -1 (1/2) = 1.047 o pi / 3 . Sin embargo, mirando nuestro círculo unitario, vemos que en realidad hay dos ángulos que nos darán una respuesta de 1/2 para nuestra función coseno. Tenemos pi / 3 y 5pi / 3 . ¿Por qué es esto? Bueno, vayamos al gráfico:

Gráfico de la función coseno

Mire la parte del gráfico que cruza el eje y , la parte del gráfico que se curva hacia arriba desde y = 0 y luego vuelve a bajar hasta y = 0 nuevamente, y notará que hay dos lugares donde obtenemos y = 1/2. Eso significa que tenemos dos soluciones principales. Entonces, encontrar las respuestas del círculo unitario nos da el número total de soluciones.

Recuerde, debemos tener en cuenta el período de nuestra función coseno. Nuestras soluciones se repiten cada 2pi espacios. Así que nuestra respuesta completa es x = pi / 3 + 2 * pi * n y x = 5pi / 3 + 2 * pi * n .

Si nuestro período es simplemente pi, entonces en lugar de a + 2 * pi * n , tendríamos a + pi * n .

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas. Nuestras funciones trigonométricas son las funciones de seno, coseno, tangente y sus recíprocos que son cosecante, secante y cotangente.

Una característica interesante de las ecuaciones trigonométricas es que tienen un número infinito de soluciones. Para las funciones seno y coseno, las soluciones se repiten cada dos espacios de pi. Para la función tangente, repite todos los espacios pi. Este espaciamiento se llama período . Al resolver ecuaciones trigonométricas, es mejor usar el círculo unitario para que se puedan encontrar todas las respuestas.

A veces, hay dos soluciones principales. Después de encontrar la solución primaria, debemos tener en cuenta el período y escribir + 2 * pi * n para la función seno y coseno o + pi * n para la función tangente. Este período, este espaciado, puede cambiar para ecuaciones trigonométricas más complejas.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección en video, debería poder:

• Definir ecuaciones trigonométricas y período.
• Identificar las funciones trigonométricas y el período de seno, coseno y tangente.
• Describe las formas de resolver ecuaciones trigonométricas.
• Explica por qué es mejor usar el círculo unitario para resolver ecuaciones trigonométricas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador