Sistema no lineal de ecuaciones en dos variables
Suponga que decide dedicarse a la jardinería, pero para ello necesita un jardín. Decides hacer uno en tu patio trasero. Quieres que sea rectangular y quieres que tenga un área de 336 pies cuadrados.
Vas a la tienda a comprar cercas y un trabajador de la tienda dice que solo tienen 80 pies de la cerca que quieres. Compras los 80 pies de cerca y te diriges a casa para comenzar con este jardín.
Tienes algunos criterios para tu jardín. Usted sabe que quiere que el área sea de 336 pies cuadrados, y como solo tiene 80 pies de cercas, la distancia alrededor del jardín rectangular, o el perímetro, debe ser de 80 pies.
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Debe saber cuál debe ser la longitud y el ancho del jardín para adaptarse a sus criterios. Bueno, ¡tengo buenas noticias! ¡Vamos a ver cómo hacer exactamente esto!
Conoces el área y el perímetro, así que si dejamos que la longitud sea l y el ancho w , las siguientes ecuaciones deben ser verdaderas.
2 l + 2 w = 80
lw = 336
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. Cuando una o más de las ecuaciones de un sistema no son lineales, se denomina sistema de ecuaciones no lineal . Observe que en nuestro sistema, hay una ecuación no lineal lw = 336, y hay dos incógnitas, por lo que nuestro sistema se llama un sistema no lineal de ecuaciones en dos variables .
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Bien, ahora que tenemos el vocabulario fuera del camino, ¡echemos un vistazo a cómo resolver este tipo de sistemas para que pueda comenzar con su jardín!
Resolver gráficamente
Una forma de resolver un sistema no lineal de ecuaciones en dos variables es mediante la representación gráfica. Sin embargo, ¡una advertencia! Al resolver gráficamente, es mejor usar una calculadora gráfica. Hacerlo a mano deja mucho margen de error ya que resolver de esta forma implica localizar un punto exacto.
Los pasos que usamos para resolver gráficamente son los siguientes.
- Grafica ambas ecuaciones en la misma gráfica.
- Encuentra el punto de intersección de las dos gráficas.
- Los puntos de intersección son sus soluciones.
¡Bueno! Tres sencillos pasos: ¡podemos manejar esto! ¡Resolvamos nuestro sistema graficando! El primer paso es graficar ambas ecuaciones en la misma gráfica.
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A continuación, ubicamos los puntos de intersección de las dos gráficas.
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Vemos que los dos puntos de intersección son (12, 28) y (28, 12). ¡El tercer paso es el más fácil! Simplemente establece que los puntos de intersección son nuestras soluciones. En nuestro caso, tenemos que el largo y ancho del jardín debe ser de 12 pies y 28 pies para cumplir con sus criterios. No dejes que el hecho de que haya dos soluciones te haga tropezar. En este caso, simplemente nos dice que el jardín cumplirá con sus criterios si tiene 12 pies de largo y 28 pies de ancho o 28 pies de largo y 12 pies de ancho.
¡Increíble! Usted sabe lo que necesita que sea su largo y ancho, pero luego se pone a pensar, ¿y si no tuviera una calculadora gráfica a mano? ¿Podrías resolver este sistema a mano de otra manera? ¡La respuesta es sí!
Resolver mediante sustitución
Otra forma de resolver sistemas de ecuaciones no lineales en dos variables es hacerlo algebraicamente mediante sustitución. Para utilizar la sustitución para resolver un sistema de X y Y , seguimos estos pasos.
- Resuelve y en términos de x en una de las ecuaciones.
- Reemplaza la expresión que encontraste para y en la otra ecuación y resuelve para x .
- Reemplaza los valores que encontraste para x en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar un valor correspondiente de y para cada valor de x . Estas son tus soluciones.
¡Bien! Veamos nuevamente el ejemplo de la jardinería. Un paso a la vez, sigamos adelante y resolvamos el sistema mediante sustitución. Primero, resolvemos una de las variables en términos de la otra variable. No importa qué variable resuelva. Al final, obtendrás las mismas soluciones, así que digamos que resolveremos l en términos de w en la ecuación 2 l + 2 w = 80
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Vemos que l = 40 – w . El siguiente paso es sustituir esta expresión por l en la otra ecuación, lw = 336, y resolver para w .
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Obtenemos que w = 12 o w = 28. El último paso es reemplazar estos valores en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para l . Vamos a conectarlos a la ecuación lw = 336.
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Vemos que cuando w = 12, l = 28 y cuando w = 28, l = 12. En otras palabras, su jardín cumplirá con sus criterios si el ancho es de 12 pies y el largo es de 28 pies o si el ancho es de 28 pies. y la longitud es de 12 pies. Esto es exactamente lo que descubrimos cuando resolvimos graficando, ¡así que sabemos que es correcto!
Resumen de la lección
Un sistema de ecuaciones no lineal con dos variables es un sistema de ecuaciones que tiene al menos una ecuación no lineal y dos incógnitas. Podemos resolver este tipo de sistemas utilizando gráficos o sustitución. Los pasos que seguimos en ambos casos se muestran en la imagen.
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Como hemos visto, con el ejemplo de su jardín, ¡ambos procedimientos no son demasiado difíciles cuando los damos paso a paso! Hablando de eso, gracias a las matemáticas, tienes las dimensiones de tu jardín, ¡así que continúa y comienza con tu jardín!
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