Jon y Jenn se van de vacaciones
 |
Jon y Jenn son hermanos y pueden elegir las vacaciones familiares este año. Jon quiere ir a las montañas, por eso piensa en Colorado. Jenn quiere ir a la playa, por eso piensa en Florida. Para mantener la armonía familiar, eligen ir a Carolina del Norte, donde pueden visitar la playa y las montañas. Este escenario representa la lógica que hay detrás de la resolución de un sistema lineal. Tienes todos los puntos que hacen que una ecuación sea verdadera y todos los puntos que hacen que otra ecuación sea verdadera y encuentras el punto que funciona para ambas. Puedes resolver estos sistemas multiplicando las ecuaciones. Esta lección explicará cómo utilizar este proceso y le dará un par de ejemplos a seguir.
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es una relación entre dos variables con un grado de uno.
Ejemplos de ecuaciones lineales:
y = 4x-6
2x + 3y = 10
Propiedades de confiabilidad de los sistemas: principios y propósito
7y-105 = x
Una solución a una ecuación lineal es un emparejamiento de un x y y valor que hace verdadera la ecuación. La solución se da como un par de coordenadas , como (3,4). La ecuación y = 4 x -6 tiene un número infinito de soluciones.
Algunas de las soluciones de y = 4 x -6 son (4,10), (0-6) y (-2, -14); (10) = 4 (4) -6, (-6) = 4 (0) -6 y (-14) = 4 (-2) -6.
Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones lineales que se han agrupado para resolverlas juntas.
Estas dos ecuaciones podrían considerarse un sistema:
y = 5 x -8
2 x +5 y = 30
Una solución a un sistema de ecuaciones lineales es un par de coordenadas ( x , y ) que hace que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.
Para el sistema:
y = 3 x +1 y 2 x +5 y = 22
Sistemas de información de gestión: función, impacto e importancia
El punto (1,4) es una solución del sistema.
(4) = 3 (1) +1 y 2 (1) +5 (4) = 22
La forma estándar de una ecuación es cuando la ecuación se ve como A x + B y = C. Un ejemplo sería 3x + 4y = 20.
Multiplicar ecuaciones y sumar a cero
Un ‘truco’ o propiedad del álgebra que es más útil aquí es que puedes multiplicar todos los términos de cualquier ecuación por cualquier número, y no cambiará la (s) solución (es) de esa ecuación. Para la ecuación, x + y = 10, los puntos (1,9), (5,5) y (-2,12) son todas soluciones. Multipliquemos toda la ecuación por 5, 5 x +5 y = 50. Los puntos (1,9), (5,5), (-2,12) siguen siendo soluciones. 5 (1) +5 (9) = 50, 5 (5) +5 (5) = 50 y 5 (-2) +5 (12) = 50. Otra propiedad del álgebra que es útil al resolver sistemas mediante la multiplicación es que los números y términos opuestos se suman a cero. 7 + (- 7) = 0 y -2 x +2 x = 0.
Resolver sistemas usando multiplicación
La clave para usar multiplicando para resolver sistemas lineales es encontrar un número de multiplicarse a una o ambas de las ecuaciones de modo que la x o Y términos en una de las ecuaciones tendrán coeficientes opuestos de la x o y en la otra ecuación. Luego, sumaría estas dos ecuaciones. Dado que ahora tiene coeficientes opuestos en uno de los términos, ese término se sumará a cero (desaparecerá), dejando el otro término y un número. Este proceso también se llama eliminación porque estamos eliminando una de las variables.
 |
Pasos para usar la multiplicación para resolver sistemas lineales:
- Pon ambas ecuaciones en forma estándar (Ax + By = C).
- Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para que tengas coeficientes opuestos en la misma variable.
- Suma las dos ecuaciones. Sume las x , las y y los números.
- Resuelve la variable.
- Tome su respuesta del último paso y conéctela a las ecuaciones (elija la que parezca más fácil).
- Su solución tendrá la forma de un punto de coordenadas ( x , y ).
Ejemplos
Ejemplo uno
Encuentra la solución para el sistema de ecuaciones:
4 x +3 y = 5, y = 3 x -7
Paso uno: Ponga en forma estándar.
4 x +3 y = 5 (ya en forma estándar)
y = 3 x -7 en forma estándar sería 3 x – y = 7
4 x +3 y = 5 y 3 x – y = 7
Paso dos: multiplica una o ambas ecuaciones por un número.
Si multiplica la segunda ecuación por 3, tendrá 3 y y -3 y , que son opuestos.
4 x +3 y = 5 (nada cambió en este); 9 x -3 y = 21 (todo se multiplicó por 3).
Paso tres: sume las dos ecuaciones.
4 x + 9 x = 13x, 3 y + -3 y = 0 y , 5 + 21 = 26
La única ecuación es 13x = 26.
Paso cuatro: resuelve para x
Dividir ambos lados entre 13 da x = 2.
Paso cinco: Vuelva a conectar x .
y = 3 x -7, y = 3 (2) -7, y = -1
Paso seis: use el punto de coordenadas ( x , y ).
(2, -1) es la solución. Hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.
Ejemplo dos: (con menos detalles)
Encuentra la solución al sistema:
y = (2/3) x-1, 3x-5y = 3
Paso uno: Ponga en forma estándar.
3x-5y = 3, 2x-3y = 3
Paso dos: multiplica la primera ecuación por -2 y la segunda ecuación por 3.
(3x-5y = 3) x (-2) da -6x + 10y = -6, (2x-3y = 3) x (3) da 6x-9y = 9
Paso tres: sumar.
(-6x + 6x) + (10 años + -9 años) = (- 6 + 9)
0 x +1 y = 3
Paso cuatro: no es necesario.
y = 3
Paso cinco: 2 x -3 (3) = 3, 2 x -9 = 3, 2 x = 12, x = 6
Paso seis: (6,3) es la solución.
Resumen de la lección
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar el punto que hará que ambas ecuaciones sean verdaderas. Hay varios métodos para hacer esto. Un método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún número. Este número ha sido elegido para que después de la multiplicación, uno de los términos sea el opuesto del término (con la misma variable) en la otra ecuación. En este punto, debes sumar las dos ecuaciones. Esto provocará la eliminación de uno de los términos. Resuelve para la otra variable y conecta tu respuesta a una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
