Resolver trinomios cuadráticos mediante factorización

Un trinomio cuadrático

Primero, ¿qué es un trinomio cuadrático ? En resumen, es una expresión cuadrática con los tres términos. ¿Qué significa esto? Si mi expresión cuadrática es de la forma ax ^ 2 + bx + c , donde a , b , y c son números, entonces mi trinomio de segundo grado se asegurará de que ni una , b , ni c será 0. Los tres de estas cartas será un número distinto de 0.

Observe el pequeño 2 junto a la primera x . Eso nos dice que esta expresión es cuadrática porque una cuadrática significa que su mayor exponente es un 2. La parte del trinomio proviene de las tres partes o términos que componen nuestra cuadrática. Como ninguna de nuestras letras es 0, todos nuestros términos están ahí y tenemos tres partes separadas por un menos o un más.

Un ejemplo de trinomio cuadrático es 2 x ^ 2 + 6 x + 4. ¿Ves cómo están presentes los tres términos? Todas mis letras están representadas por números. Mi a es un 2, mi b es un 6 y mi c es un 4.

Resolviendo factorizando

Cuando establecemos nuestro trinomio cuadrático igual a 0, es cuando queremos resolverlo. El método que les mostraré en esta lección es cómo resolver factorizando . Lo que esto significa es que estamos encontrando lo que se multiplica para llegar a nuestra cuadrática.

Después de factorizar, terminaremos con dos conjuntos de paréntesis, siendo cada conjunto uno de nuestros factores. Una cuadrática solo tendrá dos conjuntos. Puedes recordar esto mirando el pequeño 2, ya que te dice cuántos conjuntos o factores tendremos.

Tenga en cuenta que la factorización es solo un método para resolver una cuadrática. Otros métodos pueden ser mejores para diferentes cuadráticas.

Preparando el problema

Para comenzar, necesitamos configurar nuestro problema para que podamos encontrar fácilmente nuestros factores. Resolveremos 2 x ^ 2 + 6 x + 4 = 0 factorizando. Lo que hago es que primero escribo mi problema y lo tengo igual a dos conjuntos vacíos de paréntesis como este: 2 x ^ 2 + 6 x + 4 = (…) (…). Soy una persona visual, así que al escribir esta parte, puedo ver claramente que necesito llenar ambos paréntesis con información.

Mi siguiente paso es encontrar los factores de mi primer y último mandato. Subrayo mi primer mandato y mi último mandato.

Primer y último trimestre.

Ahora puedo escribir mis factores debajo. Para 2 x ^ 2, mis factores son x y 2 x . Los escribo debajo de mi 2 x ^ 2. Para el 4, puedo tener 1 y 4 o 2 y 2. Debido a que el signo del 4 es positivo y dos negativos multiplicados juntos dan un positivo, también puedo tener -1 y -4 o -2 y -2 como sea posible factores. Así que los escribo debajo de la línea para 4. Separo cada grupo de factores con una línea.

Factores de primer y último mandato.

Ya terminé de configurar mi problema. El siguiente paso es encontrar mis factores para ayudarme a resolver.

Encontrar el factor

Mi trabajo es combinar un par de factores del primer período con un par de factores del último período para obtener mi término medio. Déjame mostrarte lo que quiero decir aquí. Primero, miro los posibles factores del primer trimestre. Solo tengo un par para mirar, la xy 2 x . Entonces sé que tengo que usar estos dos. Este primer par del primer término en realidad me dice qué valores van al comienzo de mis paréntesis. Puedo seguir adelante y completar esa parte, así: 2 x ^ 2 + 6 x + 4 = ( x ..) (2 x ..).

Ahora tengo que averiguar qué números necesito multiplicar con mi x y 2 x para que cuando los sume obtenga 6 x , la parte del medio. Para estos números, miro los posibles factores de mi último mandato. Noto que el 6 es positivo, eso significa que tendré que sumar números positivos. Entonces, puedo tachar el -1 y -4 y el -2 y -2, ya que estos me darán un número negativo cuando se sumen después de multiplicar.

Eso me deja con el 1 y el 4 o el 2 y el 2. Empiezo a jugar con mi primer par, el 1 y el 4. Puedo combinarlos con x y 2 x de dos maneras. Puedo multiplicar la x con el 4 y el 2 x con el 1 o puedo multiplicar la x con el 1 y el 2 x con el 4. ¿De qué manera me dará un 6 x cuando se sumen?

La primera forma funciona porque x por 4 es 4 x y 2 x por 1 es 2 x . Sumar 4 x y 2 x da 6 x , mi término medio. La otra forma no funciona, ya que 2 x por 4 ya es 8 x . Sumando x por 1 ox nos da 9 x , que no es 6 x . Desde que encontré mi combinación, puedo dejar de buscar. Sin embargo, si aún no he encontrado mi combinación, pasaría al siguiente par de factores posibles y continuaría hasta encontrarla.

Entonces, ahora que encontré mi combinación, necesito terminar de completar mis paréntesis. Sé que mi x tiene que multiplicarse por el 4 y mi 2 x por el 1. ¿Dónde pongo los números para que esto suceda? Una buena forma de recordar es decirse a sí mismo que los paréntesis se multiplican, por lo que sus combinaciones deben estar entre paréntesis diferentes.

Mi x está en el primer par de paréntesis, entonces mi 4 va en el segundo. Mi 2 x está en el segundo, entonces mi 1 va en el primero. Entonces ahora tengo 2 x ^ 2 + 6 x + 4 = ( x + 1) (2 x + 4). Dado que mi 1 y 4 son positivos, estoy usando las ventajas. Si mi problema tuviera un factor negativo, entonces mi signo para ese factor sería negativo. Me detengo aquí si mi problema solo quería que yo factorizara. Si dice que se resuelva, entonces necesito continuar.

Para resolver, establezco cada uno de mis paréntesis en 0. Entonces, tengo x + 1 = 0 y 2 x + 4 = 0. Ahora resuelvo cada uno para x y obtendré mis respuestas. Y sí, tendré dos respuestas o soluciones. Para resolver x + 1 = 0, necesito restar 1 de ambos lados y obtengo x = -1. Para resolver 2 x + 4 = 0, primero necesito restar 4 de ambos lados para obtener 2 x = -4, y luego necesito dividir ambos lados por 2 para obtener x = -2. Entonces mis dos respuestas son -1 y -2. Ahora he terminado.

Resumen de la lección

Revisemos. Hemos aprendido que un trinomio de segundo grado es una expresión cuadrática con los tres términos en la forma de hacha ^ 2 + bx + c , donde a , b , y c son números y no un 0. El método de factorización consiste en encontrar lo que multiplica juntos para obtén nuestra cuadrática. Terminarás con dos pares de paréntesis cuando termines de factorizar.

El método implica escribir los factores del primer término y el último término. Luego, un par de factores del primer término se combina con un par de factores del segundo término para que cuando las combinaciones se multipliquen y sumen, obtengan el término medio.

Si el problema solo dice factorizar, podemos detenernos después de completar nuestros dos paréntesis que resultan de factorizar. Si el problema dice resolver, entonces establecemos cada paréntesis igual a 0 y luego resolvemos para nuestra variable. Terminaremos con dos respuestas o soluciones.

Los resultados del aprendizaje

A medida que complete esta lección, podrá descubrir su capacidad para:

• Identificar un trinomio cuadrático
• Configurar correctamente una ecuación
• Factorizar y resolver una ecuación trinomial cuadrática

Rodrigo Ricardo Editor y fundador