Serie de Taylor para sin (x): procedimientos y pasos

Cómo encontrar una serie de Taylor

Una serie de Taylor es una serie infinita de términos. Estos términos tienen la forma de una potencia de x multiplicada por un coeficiente. Cuando se suman los términos de la serie, podemos aproximar una función a un valor específico de x , siempre que el valor se encuentre dentro del intervalo de convergencia de la función. No mostraremos esto, pero la serie de Taylor para sin ( x ) funciona para todos los valores de x .

Vamos a encontrar la serie de Taylor para sin ( x ) usando la expresión general para la serie de Taylor. Esto significará calcular varias derivadas, sustituirlas y luego simplificarlas.

A continuación se muestra la expresión general para la serie de Taylor de una función f ( x ):

Sin embargo, eso es bastante, ¿no? Aquí hay una expresión compacta para la misma suma de términos:

En la expresión anterior, x o es el valor de x sobre el cual se calcula la serie. Los superíndices indican derivadas. Por tanto, f (1) es la primera derivada, f (2) es la segunda derivada y así sucesivamente. El Σ significa ” suma ” y significa que tomamos valores de n de 0 a ∞. Sustituimos estas n de una en una en la expresión a la derecha de Σ. Cada uno de esos términos se suma.

El signo de exclamación es el factorial, que significa:

2! = 2 (1) = 2

3! = 3 (2) (1) = 6

y así.

En general,

n ! = n (n-1) (n-2)… (1).

Además, 1! = 1 y 0! = 1.

Ahora veamos los pasos para encontrar la serie de Taylor para sin ( x ).

Paso 1: Encuentra las derivadas de f ( x ).

Hay una cantidad infinita de términos usados ​​en la suma. Resolveremos los primeros seis términos de esta lista a continuación.

Es importante señalar que, para la función seno, las derivadas se repiten en cada cuarta diferenciación. Por tanto, la cuarta derivada de sin ( x ) es sin ( x ); la quinta derivada de sin ( x ) es la misma que la primera derivada, y así sucesivamente.

Paso 2: evalúe estas derivadas en x o

Por ahora, mantendremos las cosas generales y simplemente sustituiremos x o por x en las derivadas, que puede ver aquí:

Paso 3: sustitución

El tercer y último paso es sustituir las derivadas en la expresión general de la serie de Taylor. La siguiente lista que muestra las diferentes expresiones con las derivadas sustituidas es la serie de Taylor para sin ( x ).

Aproximación

Podemos obtener una aproximación de series finitas af ( x ) deteniendo la suma en algún valor de n . Esto se denomina polinomio de la serie de Taylor o serie de Taylor truncada. En los siguientes ejemplos, mantenemos los primeros 6 términos sumando n = 5.

Los dos puntos que veremos son 0 o y 150 o . En primer lugar, las medidas de los ángulos deben estar en radianes. Por lo tanto, x o = 0 o es 0 radianes y x o = 150 o = 150π / 180 radianes.

Dos puntos para aproximar

Evaluando aproximadamente x o = 0 para -π ≤ x ≤ π, obtenemos:

Observando sin (0) = 0 y cos (0) = 1, obtenemos:

Simplificando aún más, obtenemos:

Estos son los primeros tres términos de la serie de Maclaurin para sin ( x ). Una serie de Maclaurin es un tipo específico de serie de Taylor que se evalúa en x o = 0.

Serie evaluada sobre xo = 0 grados

La curva azul en el gráfico anterior es la aproximación de la serie. Esta curva se traza con la curva sinusoidal para comparar. Impresionantemente, existe una muy buena coincidencia para valores cercanos ax = 0, pero la coincidencia no es muy buena a 150 o .

Esto sugiere que la evaluación de esta serie de Taylor truncada es aproximadamente x o = 150π / 180 = 2.6180 radianes, como puede ver en las siguientes ecuaciones:

Tenga en cuenta que, en estas ecuaciones, sin (2.6180) = 1/2 y cos (2.6180) = -√3 / 2:

Simplificando aún más, obtenemos los siguientes resultados:

Ahora podemos trazar este resultado en una gráfica. Graficando este resultado sobre un intervalo de 2π centrado en 150 o superpuesto a la curva sinusoidal:

Serie evaluada sobre xo = 150 grados

Una vez más, la curva azul es la aproximación en serie, pero esta vez estamos evaluando alrededor de 150 o en lugar de 0. Como era de esperar, hay una excelente concordancia alrededor de 150 o , pero a medida que nos alejamos de 150 o , la aproximación al seno la curva empeora.

Por lo tanto, incluso con un pequeño número de términos, podemos obtener una buena aproximación a la función seno en un intervalo sobre un valor particular.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre cómo descifrar la serie de Taylor para sin ( x ). En esta lección, aprendimos que una serie de Taylor es una serie infinita de términos y que estos términos tienen la forma de una potencia de x multiplicada por un coeficiente. Cuando se suman los términos de la serie, podemos aproximar una función a un valor específico de x siempre que el valor se encuentre dentro del intervalo de convergencia de la función. También aprendimos la expresión general de una serie de Taylor, así como la expresión general más compleja que aparece a continuación:

En esta expresión, x o es el valor de x sobre el cual se calcula la serie. Los superíndices indican derivadas. El Σ significa ” suma ” y significa que tomamos valores de n de 0 a ∞. El signo de exclamación es el factorial.

También aprendimos que los tres pasos para resolver una serie de Taylor son los siguientes:

1. Encuentra las derivadas de f ( x )
2. Evalúe estas derivadas en x o .
3. Sustitución.

También aprendimos que podemos obtener una aproximación de series finitas af ( x ) deteniendo la suma en algún valor de n , que se llama polinomio de la serie de Taylor o serie de Taylor truncada.

También aprendimos sobre los primeros tres términos de la serie de Maclaurin para sin ( x ). Una serie de Maclaurin es un tipo específico de serie de Taylor que se evalúa en x o = 0.

Todo esto es bastante complejo, sin duda, pero ahora debería tener una idea de cómo resolver una serie de Taylor para sin ( x ).