Similitud en geometría: aplicación y práctica

Semejanza

¡¡¡Es día de mudanza !!! Bueno, hipotéticamente hablando, ¡de todos modos! Suponga que se muda a un nuevo lugar y finalmente ha llegado el día en que tiene que empacar su antiguo lugar y mudarse. Antes de comenzar a empacar, vaya a la tienda local de suministros para mudanzas para comprar algunas cajas de mudanza. Todas las cajas están desmontadas, por lo que parecen rectángulos de cartón. Las cajas vienen en tamaños extra pequeño, pequeño, mediano y grande.

A medida que decide qué cajas comprar, observa que todas las cajas tienen exactamente la misma forma, pero difieren en tamaño. Esto te suena y recuerdas que la semana pasada en la clase de matemáticas, tu maestro estaba hablando de algo llamado similitud en geometría. Intenta recordar lo que dijo sobre este tema.

¡Oh si! Recuerda que, en geometría, los objetos, formas o figuras similares tienen la misma forma pero diferentes tamaños. Bueno, ¡no es de extrañar que esto se te haya ocurrido al observar las cajas en movimiento! ¡Te das cuenta de que todas las cajas son rectángulos similares!

Propiedades de formas similares

Como dijimos, cuando dos formas son similares, tienen la misma forma, pero difieren en tamaño. En otras palabras, podemos obtener una forma de la otra cambiando el tamaño de una de las formas. Debido a esto, formas similares tienen dos propiedades importantes que tienen que ver con las medidas de sus ángulos y las longitudes de sus lados.

1. En formas similares, los ángulos correspondientes tienen la misma medida.
2. En formas similares, las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Para ilustrar esto, considere una caja extra pequeña y una caja grande en la tienda de suministros para mudanzas.

Vemos que los ángulos correspondientes de las cajas son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

Estas propiedades son extremadamente útiles en aplicaciones que involucran formas, objetos o figuras similares. ¡Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ilustrar esto!

Aplicaciones

Todavía está tratando de averiguar qué cajas comprar para la mudanza. Observa que las longitudes de los lados de la caja pequeña se indican en la caja, pero la caja mediana solo tiene la longitud de un lado indicado.

Mmmm, si quieres conocer medidas específicas, como el área de las cajas aplanadas, ¡necesitarás saber la longitud del otro lado en la caja mediana! ¿Bien adivina que? ¡Estamos a punto de ver cuán útiles pueden ser esas propiedades de formas similares! Sabemos que las dos cajas aplanadas son rectángulos similares. Debido a esto, sabemos que las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales.

Si dejamos que la longitud desconocida del lado sea x , podemos usar esta propiedad para establecer una ecuación en x y resolver, ¡dándonos la longitud desconocida del lado! Tenemos eso:

AB = 2 pies.

AD = 3 pies.

EF = 4 pies.

EH = x

También sabemos que ( AB / EF ) = ( AD / EH ). Reemplazando las diferentes longitudes en la ecuación, obtenemos una ecuación en x .

Vemos que (2/4) = (3 / x ). Ahora, simplemente resolvemos para x .

Vemos que x = 6, por lo que sabemos que el lado con la longitud que falta en la caja mediana mide 6 pies de largo, ¡y todo gracias a las propiedades de formas similares!

Consideremos otro ejemplo. Suponga que ha movido todas sus cosas y ahora está pintando el exterior de su nuevo lugar. Tienes dos escaleras que puedes usar para pintar el costado de tu casa. Uno mide 10 pies de largo y el otro 16 pies de largo. Cuando apoya la escalera de 10 pies contra el costado de la casa de la manera más resistente posible, puede medir que alcanza los 8 pies por el costado de la casa. Sin embargo, cuando inclina la escalera de 16 pies de largo contra el costado de la casa de la manera más resistente posible, es demasiado alta para medir qué tan alto llega a la casa.

Necesita saber a qué altura de la casa llega la escalera de 16 pies, para saber si es lo suficientemente alta para llegar a la parte superior de la casa. Observa que, si coloca ambas escaleras como se muestra en la imagen, termina con dos triángulos similares. Es decir, Δ ABC es similar a Δ DEC . ¡Ah-ja! Una vez más, podemos usar la propiedad de que las longitudes de los lados correspondientes de figuras similares son proporcionales para encontrar la altura a la que llega la escalera de 16 pies.

Dejemos que la longitud desconocida sea x , como se muestra en la imagen. De la imagen, vemos que:

AB = 10 pies

BC = 8 pies

DE = 16 pies

EC = x

También por nuestra propiedad, tenemos que ( AB / DE ) = ( BC / EC ). Reemplazamos nuestros valores en esta ecuación y luego resolvemos para x .

Vemos que x = 12,8 pies. ¡Esta es la altura perfecta para poder llegar a lo alto de la casa a pintar! ¡Increíble!

Resumen de la lección

Se dice que dos objetos, formas o figuras son similares cuando tienen exactamente la misma forma, pero difieren en tamaño. En otras palabras, podemos obtener un objeto del otro simplemente cambiando el tamaño del objeto. Cuando dos formas son similares, tienen las siguientes propiedades que relacionan sus lados y ángulos correspondientes.

1. En formas similares, los ángulos correspondientes tienen la misma medida.
2. En formas similares, las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Estas propiedades son muy útiles al resolver problemas que involucran formas similares, como vimos con todas las veces que surgió durante su mudanza. Última pregunta: ¿cuándo vamos a hacer una fiesta de inauguración?

Rodrigo Ricardo Editor y fundador