Conceptos básicos de los exponentes
Al igual que los superhéroes, los exponentes tienen poderes específicos. ¡Tienen el poder de simplificar la multiplicación repetida para que podamos ahorrar espacio! De acuerdo, tal vez sus poderes no sean tan emocionantes, pero ciertamente son útiles en matemáticas y ciencias. Podemos realizar todo tipo de cálculos matemáticos diferentes con exponentes, pero en esta lección, nos concentraremos en solo dos: sumar y restar con exponentes.
Antes de comenzar a sumar y restar con exponentes, debemos discutir algunas cosas. ¿Qué es un exponente? Los exponentes , o potencias , corresponden al número de veces que se usa una base como factor. En otras palabras, los exponentes indican cuántas veces se debe multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo, cuando vemos 5 ^ 3, nos dice que la base, 5, se multiplica por sí misma tres veces. En este caso, el exponente es 3. Si escribimos esto, se verá así: 5 ^ 3 = 5 * 5 * 5, o 125.
Lo mismo se aplica cuando se trata de variables o letras y símbolos, como lo haremos en esta lección. Por ejemplo, x ^ 3 indicaría que x se multiplica tres veces, o x * x * x . El exponente, nuevamente, es 3.
Fácil, ¿verdad? Antes de pasar a sumar y restar con exponentes, debemos echar un vistazo a los coeficientes . Un coeficiente aparece antes de una variable en una expresión y se multiplica por esa variable.
Echemos un vistazo a la siguiente expresión: 2 x ^ 5. Con suerte, reconocerá que la base es x y el exponente es 5. Pero, ¿qué es diferente de los términos que vimos anteriormente en la lección? Este término ahora también tiene un coeficiente de 2.
Números mixtos: cómo sumar, restar, multiplicar y dividir
Veamos uno más para asegurarnos de que tenga sentido. ¿Puedes identificar la base, el exponente y el coeficiente?
8 x ^ 5
Esta expresión tiene un coeficiente de 8, una base de x y un exponente de 5.
Por cierto, si no hay un número antes de la variable o símbolo, entonces el coeficiente será 1. Lo mismo es cierto si no ve un exponente. Por tanto, el término y tendría un coeficiente de 1 y un exponente de 1; simplemente no es necesario escribirlos, lo que simplifica un poco las cosas. Aquí hay otro ejemplo: 2 x indicaría un coeficiente de 2, una base de x y un exponente de 1.
¿Entendido? Ahora, podemos pasar a algunas reglas simples para que finalmente podamos comenzar a sumar y restar términos con exponentes.
Plan de lección de exponentes
Sumar y restar con exponentes
Cuando se trata solo de números, observamos cada expresión, calculamos y luego sumamos o restamos según sea necesario. El problema de suma 2 ^ 2 + 3 ^ 3 se convierte en (2 * 2) + (3 * 3 * 3). Cuando calculamos cada expresión obtenemos 4 + 27 = 31. Restar con exponentes funciona de la misma manera. 5 ^ 3 – 4 ^ 2 se convierte en (5 * 5 * 5) – (4 * 4). Entonces obtenemos que 125 – 16 = 109.
Se aplican diferentes reglas cuando se trata de variables. Para sumar o restar variables con exponentes, debe tener bases y exponentes similares , lo que significa que las bases y los exponentes son los mismos. No importa si las bases son letras o incluso símbolos; deben ser iguales para sumar o restar, y los exponentes deben coincidir.
Por ejemplo, podemos sumar y restar las siguientes expresiones porque tienen bases y exponentes similares:
2 x ^ 2 + 3 x ^ 2 = 5 x ^ 2
8 y ^ 3 – 5 y ^ 3 = 3 y ^ 3
División de fracciones con exponentes
Veamos un conjunto diferente de ejemplos.
y ^ 5 + x ^ 5
2 a ^ 2 – a ^ 3
Aunque los exponentes son los mismos, estos no se pueden sumar ni restar porque sus bases o exponentes son diferentes.
Una vez que determinamos que tenemos las mismas bases y exponentes, todo lo que tenemos que hacer es sumar o restar los coeficientes. En otras palabras, sumamos o restamos los coeficientes mientras mantenemos las bases y exponentes exactamente como están.
Sumar exponentes: ejemplos
¿Por qué no intentamos agregar lo siguiente?
2 x ^ 7 + 3 x ^ 7
¿Mismos bases? ¡Cheque! ¿Mismos exponentes? ¡Cheque! Todo lo que queda por hacer es sumar los coeficientes, lo que nos dará 5 x ^ 7.
Veamos un ejemplo más difícil.
8 x ^ 2 + 7 x ^ 3 + 2 x ^ 3
Dado que solo los dos últimos términos tienen bases y exponentes similares, son los únicos que podemos sumar. Nuestra respuesta se vería así: 8 x ^ 2 + 9 x ^ 3.
Como puede ver, sumamos los coeficientes 7 y 2 y mantuvimos su base y coeficiente como estaban. El primer término siguió siendo el mismo.
Restar exponentes: ejemplos
Ahora, probemos con un problema de resta.
8 x ^ 2 – 8 x ^ 3
Con suerte, reconoció que aunque las bases (y casualmente, incluso los coeficientes) son las mismas, los exponentes no lo son, por lo tanto, no podemos restar los dos términos. ¿Entonces, cuál es la respuesta?
Bueno, la respuesta es que no hay respuesta. En realidad, eso no es del todo correcto; la respuesta es que las expresiones permanecen tal como están.
Probemos con otro ejemplo de resta, uno para el que realmente podamos obtener una respuesta.
5 p ^ 2 – 2 p ^ 2
Como las bases son p y los exponentes son 2, podemos restar los coeficientes y obtener la respuesta:
3 p ^ 2
Exponente de cero
Hay algunos exponentes especiales que debe conocer. El exponente 0 es particularmente interesante porque cualquier número elevado a la potencia de 0 es 1, ¡sin importar cuán pequeño o grande sea el número!
1.238.897 ^ 0 = 1
0.00000000128 ^ 0 = 1
z ^ 0 = 1
Practiquemos sumar con exponentes de 0:
1 x ^ 0 + 1 x ^ 0
= 1 (1) + 1 (1)
= 1 + 1
= 2
3 q ^ 0 + 4 q ^ 0
= 3 (1) + 4 (1)
= 3 + 4
= 7
Resumen de la lección
Los exponentes nos dicen cuántas veces se multiplica un número o variable por sí mismo. En esta lección, aprendiste a sumar y restar con exponentes. Al sumar o restar números con exponentes, todo lo que tenemos que hacer es calcular cada expresión y resolver.
Para sumar o restar con variables, debes tener bases y exponentes similares , lo que significa que las expresiones con las que estás tratando tienen las mismas bases y exponentes. Luego puede sumar o restar los coeficientes para obtener una respuesta. Una vez que haya sumado (o restado) los coeficientes, debe recordar que la base y el exponente siguen siendo los mismos. En el caso especial en el que está sumando o restando términos con un exponente de 0, es importante recordar que todo lo elevado a la potencia de 0 es igual a 1.
Los resultados del aprendizaje
Después de ver esta lección, debería poder:
- Defina la palabra ‘exponente’
- Comprender los conceptos básicos de los exponentes: coeficientes, bases y variables.
- Describe las reglas de sumar y restar exponentes.
- Aplicar estas reglas al resolver expresiones exponenciales
- Identificar la regla especial asociada con un exponente de 0
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