Fracciones y división
¿Qué es una fracción? Podemos ver una fracción como parte de un todo. Imagina tener 1/4 de manzana. En lugar de una manzana entera, tienes una fracción. Tienes 1 de cada 4 piezas que componen esa manzana.
Otra forma de ver una fracción es como un problema de división. Esto se vuelve más obvio cuando se mira una fracción impropia como 4/2. En este caso tienes cuatro mitades de manzana, lo que equivale a tener dos manzanas enteras. En otras palabras, 4 dividido entre 2 es igual a 2. Esto también funciona para fracciones propias. Dividir fracciones propias nos da un decimal. Si tenemos 1/2, es 1 dividido por 2, lo que equivale a 0,5.
Ahora, compliquemos las cosas un poco más. ¿Qué sucede cuando el numerador , la parte superior de la fracción y el denominador , la parte inferior de la fracción, tienen exponentes , lo que significa que ambos se elevan a una potencia? Para este escenario, tenemos una fracción que se parece a lo siguiente:
5 ^ 2/4 ^ 3
Durante el resto de esta lección, veremos cómo manejar fracciones como esta aprendiendo a dividir fracciones con exponentes.
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Como bases
Antes de comenzar a ver una fracción con exponentes como el ejemplo anterior, hay un par de escenarios especiales en los que dividir fracciones con exponentes tiene un truco que nos facilita las cosas. El primero de estos escenarios es cuando tenemos una fracción con bases similares.
Los números enteros elevados a una potencia tienen dos componentes, la base y el exponente. En nuestra fracción de ejemplo 5 ^ 2/4 ^ 3 tenemos dos bases, 5 en el numerador y 4 en el denominador. Si tuviéramos bases similares, esos dos números serían iguales. Veamos el siguiente ejemplo:
7 ^ 5/7 ^ 2
Cuando tienes una fracción con bases iguales elevadas a una o más potencias, es lo mismo que tener esa base elevada a la diferencia de las dos potencias. (Recuerde, en matemáticas, encontramos la diferencia entre números restando). Usaremos nuestro ejemplo anterior para ver cómo funciona esto:
7 ^ 5/7 ^ 2 = 7 ^ (5 – 2) = 7 ^ 3 = 343
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Para problemas como estos, el exponente del denominador siempre se resta del exponente del numerador. A veces, el número más pequeño estará en el numerador y terminará con un exponente negativo.
4 ^ 2/4 ^ 4 = 4 ^ (2-4) = 4 ^ (- 2)
Si esto sucede, debe recordar que un número elevado a un exponente negativo es el mismo que el recíproco de ese número elevado a un exponente positivo.
4 ^ (- 2) = 1 / (4 ^ 2) = 1/16 = 0.0625
Como exponentes
Nuestro segundo escenario para facilitar la división de fracciones con exponentes ocurre cuando tienes dos bases diferentes con exponentes iguales. Una fracción con exponentes iguales en el numerador y denominador es lo mismo que tener esa fracción entera elevada a una sola potencia.
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5 ^ 2/6 ^ 2 = (5/6) ^ 2
De aquí en adelante, simplemente divide la fracción normalmente y luego eleva la respuesta que obtienes a esa potencia.
(5/6) ^ 2 = (0,83) ^ 2 = 0,69
Recuerde, cuando tiene un decimal elevado a una potencia, funciona de la misma manera que un número entero elevado a una potencia. Es igual a ese decimal multiplicado por sí mismo tantas veces como indique el exponente.
(0,83) ^ 2 = 0,83 * 0,83 = 0,69
(0.83) ^ 3 = 0.83 * 0.83 * 0.83 = 0.57
No hay componentes similares
Si no tiene bases iguales ni exponentes iguales, entonces no hay atajos para resolver el problema. En este caso, debes resolver el numerador y el denominador por separado y luego dividir las respuestas que obtengas. Echemos un vistazo a nuestro primer ejemplo:
5 ^ 2/4 ^ 3
Primero, encontramos por separado lo que son iguales tanto 5 ^ 2 como 4 ^ 3.
5 ^ 2 = 25
4 ^ 3 = 64
Esto nos da la siguiente fracción, que luego dividimos para encontrar nuestra respuesta.
5 ^ 2/4 ^ 3 = 25/64 = 0.39
Resumen de la lección
Si bien una fracción representa una parte de un todo, también se puede considerar como un posible problema de división. Dividimos una fracción tomando el numerador , el número en la parte superior de la fracción, y dividiéndolo por el denominador , el número en la parte inferior de la fracción. Cuando el numerador y el denominador tienen exponentes , lo que significa que se elevan a una potencia, esto puede ser un poco complicado.
Hay tres formas de dividir una fracción con exponentes, pero dos de las formas tienen ciertos requisitos que deben cumplirse. El primer método implica tener una fracción con bases similares. Las bases son los números que se elevan a una potencia. Cuando tienes bases iguales, es lo mismo que tener esa base elevada a la diferencia entre el exponente en el numerador y el exponente en el denominador.
7 ^ 5/7 ^ 2 = 7 ^ (5 – 2) = 7 ^ 3 = 343
Usamos el segundo método para dividir fracciones con exponentes si la fracción tiene exponentes iguales. Cuando tienes una fracción con exponentes iguales, es equivalente a tener esa fracción entera elevada a un solo exponente.
5 ^ 2/6 ^ 2 = (5/6) ^ 2 = (0.83) ^ 2 = 0.69
Finalmente, si la fracción no tiene bases iguales ni exponentes iguales, debes resolver el problema normalmente. Haz esto resolviendo el numerador y el denominador por separado y luego dividiendo la fracción.
5 ^ 2/4 ^ 3 = 25/64 = 0.39
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