Rodrigo Ricardo

Tangente común: definición y construcción

Publicado el 22 noviembre, 2020

Definición de tangente común

¿Alguna vez has oído hablar de una tangente? La palabra puede traer a la mente una conversación que toma un giro inesperado, pero en matemáticas tiene un significado muy diferente. Una tangente a un círculo se define como una línea que pasa exactamente por un punto de un círculo y es perpendicular a una línea que pasa por el centro del círculo. Una línea que es tangente a más de un círculo se denomina tangente común de ambos círculos.

Una tangente común se puede dividir en tangentes comunes internos y externos; la diferencia es que las tangentes comunes internas pasan a través del segmento de línea que une los centros de los dos círculos y las tangentes comunes externas no.

Hay seis casos diferentes que podemos analizar para hablar de todas las posibilidades de tangentes comunes entre dos círculos. Echemos un vistazo más de cerca a estos, uno a la vez, comenzando con el menor número de tangentes comunes y trabajando hacia el mayor número de tangentes comunes.

En todos los casos a continuación, a será el radio de un círculo, b será el radio del otro círculo y d es la distancia entre los centros de los círculos. El número de tangentes comunes es n .

Sin tangentes comunes ( n = 0)

¿Cómo es posible no tener tangentes comunes para dos círculos? Bueno, si un círculo está completamente dentro del otro, todas las posibles tangentes del círculo más pequeño pasarán por dos puntos del círculo más grande. Dado que una tangente al círculo más grande solo puede pasar por un punto del círculo más grande, esto significa que ni siquiera hay una sola línea que sea tangente a ambos círculos.

tangente común

Mirando el diagrama, podemos ver que b > a y d < buna .

Construcción: Dado que no hay tangentes, no hay tangentes para construir.

Una tangente común ( n = 1)

Si ajustamos ligeramente la geometría del escenario anterior, de modo que el círculo más pequeño pueda tocar el círculo más grande en un punto, podemos ver que habrá una tangente común, que pasa por el único punto que es común a ambos. círculos.

tangente común

En este caso, b > a y d = ba . Además, esta tangente es una tangente común externa porque no cruza el segmento de línea entre el centro de los círculos.

Construcción: La tangente toca el círculo exactamente en el punto en el que se tocan los dos círculos, y es perpendicular a cada radio.

Dos tangentes comunes ( n = 2)

Continuando con nuestra investigación, ¿qué sucede cuando separamos más los centros de los círculos? No demasiado separados todavía, pero lo suficiente como para que los círculos se crucen en dos puntos.

tangente común

Para este escenario, a > by la distancia entre los centros de los círculos tendrá un límite superior e inferior: ab < d < a + b . Las dos tangentes son ambas tangentes externas.

Construcción: coloque una regla , como una regla o un transportador, de modo que toque el centro de cada círculo. Muévase hacia arriba hasta que solo un punto de la regla toque el círculo más pequeño. Mantenga ese punto relativamente quieto mientras ajusta el otro extremo de la regla hasta que toque solo un punto en el círculo más grande. Haga los pequeños ajustes finales que sean necesarios para hacer que la línea sea tangente a ambos círculos, luego dibuje la línea trazando la regla con su implemento de dibujo. Repita para la otra tangente moviendo la regla hacia abajo.

Tres tangentes comunes ( n = 3)

Al separar aún más los centros de los círculos, podemos llegar al punto en el que nuevamente tenemos un solo punto que está en ambos círculos, pero esta vez los círculos están casi separados.

tangente común

Puede ver que a + b = d , y que hay exactamente 3 tangentes. Hay dos tangentes externas y una interna.

Construcción: Dibuje las tangentes externas como se describe en la sección anterior. La tangente interna pasará por el punto que incluye ambos círculos y también será perpendicular a ambos radios.

Cuatro tangentes comunes, ( n = 4)

El penúltimo caso es cuando los centros de los círculos están lo suficientemente separados como para que los círculos estén completamente separados.

tangente común

Este es probablemente el caso más común y está definido por la relación:

d > a + b . Hay 2 tangentes comunes internas y dos tangentes comunes externas.

Construcción: Dibuje las dos tangentes externas como se describe en construcciones anteriores. Para la primera tangente interna, coloque la regla de modo que toque la parte inferior del círculo izquierdo y mueva el lado derecho de la regla para que esté por encima del centro del círculo derecho. Sigue moviendo el lado derecho hacia arriba hasta que solo haya un punto del círculo tocando la regla. Haga pequeños ajustes finales para que cada círculo toque la regla en un solo lugar. Cuando lo tengas colocado correctamente, traza la regla con tu bolígrafo, lápiz o marcador.

Tangentes comunes infinitos, ( n = infinito)

El último caso es especial, donde la distancia entre los centros del círculo es cero y los radios de los dos círculos son iguales entre sí. En este caso, los dos círculos son en realidad el mismo círculo y cada tangente del primer círculo es también una tangente del segundo círculo.

tangente común

Para este último caso a = b , d = 0. Hay un número infinito de tangentes comunes y todas son externas.

Construcción: ¡Hay literalmente demasiadas tangentes comunes para dibujar! Para dibujar una tangente de muestra, simplemente elija cualquier punto en el círculo (s) y dibuje una línea a través de ese punto que sea perpendicular al radio del círculo.

Resumen de la lección

Una tangente a un círculo pasa por un punto del círculo y es perpendicular a la línea que conecta ese punto con el centro del círculo. Una tangente común es una línea que es tangente a dos círculos. Si la tangente cruza el segmento de línea que une los centros de los dos círculos, se dice que es una tangente común interna ; de lo contrario, es una tangente común externa . Los seis casos diferentes se resumen en el cuadro siguiente.

norte restricciones tangentes comunes internas tangentes comunes externas
0 b > a y d < ba 0 0
1 b > una y d = buna 0 1
2 ab < d < a + b 0 2
3 a + b = d 1 2
4 d > a + b 2 2
infinito a = b , d = 0 0 infinito

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