Técnicas de integración en cálculo

¿Qué son las técnicas de integración en cálculo?

El cálculo es la rama de las matemáticas que analiza cómo cambian las cantidades. El cálculo básico considera cantidades que pueden representarse mediante funciones de una sola variable y tradicionalmente se divide en dos partes. El cálculo diferencial implica encontrar tasas de cambio instantáneas y su contraparte, el cálculo integral, se puede aplicar para calcular el cambio total en una cantidad particular.

Las operaciones fundamentales del cálculo son la diferenciación y la integración. El objetivo de diferenciar una función {eq}f(x) {/eq} es determinar otra función {eq}f'(x) {/eq}, que represente la tasa de cambio instantánea de la primera para cualquier valor de { eq}x {/eq}. En términos generales, la integración implica precisamente lo contrario: identificar una función dada {eq}f(x) {/eq} como derivada de alguna otra función {eq}F(x) {/eq}, denominada anti- derivado. Expresada simbólicamente, esta operación se representa de la siguiente manera:

$$\int f(x) \ dx = F(x) + C $$

El lado izquierdo se llama integral indefinida de {eq}f(x) {/eq}. La función de entrada se llama integrando; el símbolo {eq}\int {/eq} representa la operación de integración, y el diferencial {eq}dx {/eq} sirve para identificar la variable independiente involucrada. El resultado, que se muestra a la derecha, es el conjunto de todas las antiderivadas posibles, es decir, funciones que satisfacen {eq}F'(x)=f(x) {/eq}. Las antiderivadas pueden diferir en cualquier valor constante, y esto se indica incluyendo una constante de integración arbitraria {eq}C\in\mathbb{R} {/eq}.

La tarea que nos ocupa es determinar una antiderivada única y representativa de una función determinada. Esto puede ser relativamente fácil si el integrando puede reconocerse como el resultado de una regla derivada familiar, pero en general, la integración indefinida puede ser un desafío o incluso imposible. Este problema ha llevado al desarrollo de varias técnicas de integración que pueden usarse para calcular antiderivadas de fórmulas complicadas.

Comprender las integrales en cálculo

La notación utilizada para la integración se origina a partir de un problema diferente pero relacionado: encontrar el área bajo una curva geométrica. Más específicamente, la integral definida de una función {eq}f(x) {/eq} en el intervalo {eq}a\leq x \leq b {/eq} representa el área con signo entre la función y {eq}x eje {/eq} sobre el rango indicado, y se expresa simbólicamente como

$$\int_a^bf(x) \dx $$

La notación para integrales definidas e indefinidas es muy similar porque, según el teorema fundamental del cálculo, el área bajo la curva se puede encontrar identificando una antiderivada {eq}F(x) {/eq} y luego calculando

$$\int_a^bf(x) \ dx = F(x) \ \biggr\rvert_a^b = F(b) – F(a) $$

En otras palabras, la integral definida de una función en un intervalo particular representa el cambio correspondiente en el valor de {eq}F(x) {/eq}. Esta interpretación es la principal aplicación del cálculo integral en problemas del mundo real. Por ejemplo, si la velocidad de un objeto que cae después de {eq}t {/eq} segundos es igual a {eq}v(t)=9,8t {/eq} m/seg, entonces la antiderivada de esta función será representan el desplazamiento del objeto, precisamente porque la velocidad es la tasa de cambio del desplazamiento. La distancia recorrida por el objeto después de 5 segundos se puede calcular de la siguiente manera:

$$\int_0^5 9.8t \ dx = \ \frac{9.8t^2}{2} \biggr\rvert_0^5 =\frac{9.8(5)^2}{2} – 0 = 122.5 \ \mathrm {m} $$

Este cálculo se basa en el hecho de que {eq}\left( \frac{9.8t^2}{2} \right)’ \!= 9.8t {/eq}, que proporciona la función antiderivada necesaria, y es En este punto resulta muy útil una lista de técnicas integrales.

Tipos de métodos de integración

Los métodos de integración más básicos se basan en reconocer integrandos simples como derivadas de ciertas funciones comunes, como las potencias. La regla del poder para la integración establece que

$$\int x^n \ dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \ \, \ \ \mathrm{for} \ \ n\neq -1 $$

Esta regla se puede aplicar a funciones cuadráticas y polinomios de grados superiores, así como a raíces, que se pueden representar con exponentes fraccionarios. La excepción a la regla de la potencia puede reconocerse como la derivada del logaritmo natural, que proporciona otro tipo básico de integral:

$$\int \frac{1}{x} \ dx = \int x^{-1} \ dx = \ln|x| +C$$

Las reglas derivadas de las funciones exponencial natural y trigonométrica seno y coseno también se pueden replantear fácilmente en forma integral:

$$\int e^x dx = e^x + C \qquad\qquad \int \cos x \ dx = \sin x + C \qquad\qquad \int \sin x \ dx = -\cos x + C $ $

Las antiderivadas de muchos otros tipos de funciones se resumen en tablas de integrales, que se pueden consultar según sea necesario. Aquí se presenta una lista de técnicas integrales que se pueden aplicar de manera más general para resolver muchos tipos de integrales, como se muestra en los ejemplos más adelante.

Integración por sustitución

La sustitución de una nueva variable a veces puede simplificar una integral complicada si se puede expresar únicamente en términos de esa variable. Más concretamente, gracias a la regla de la cadena de diferenciación, existe la siguiente identidad:

$$\int f\left( g(x)\right) \cdot g'(x) \ dx = \int f(u) \ du $$

donde {eq}u=g(x) {/eq}. Si se puede identificar que una integral tiene la forma de la izquierda, la sustitución {eq}u {/eq} permite reemplazarla con la integral más simple de la derecha, que idealmente se puede resolver usando métodos básicos.

Sustituciones trigonométricas

Se pueden intentar obtener integrales que tengan una de algunas formas específicas sustituyendo la variable original {eq}x {/eq} por una función trigonométrica de una nueva variable {eq}\theta {/eq}. Una sustitución trigonométrica correctamente elegida puede permitir la simplificación algebraica del integrando utilizando una u otra identidad trigonométrica. Las pautas para las sustituciones trigonométricas son las siguientes:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \ \ \mathrm{si \ integrand \ incluye} \ \ & \ \ \ \mathrm{uso \ sustitución} \ \ \ & \ \ \mathrm {con \ diferencial} \ \ \\ \hline \sqrt{a^2-x^2} & x=a\sin\theta & dx=a\cos\theta\,d\theta \\ \hline \sqrt{ a^2+x^2} & x=a\tan\theta & dx=a\sec^2\theta\,d\theta \\ \hline \sqrt{x^2-a^2} & x=a \sec\theta & \ \ dx=a \sec\theta\tan\theta\, d\theta \ \ \\ \hline \end{array} $$

Fracciones parciales

El método de fracciones parciales implica descomponer funciones racionales complicadas en una suma de funciones racionales más simples donde el grado del denominador es como máximo 2, que luego se puede integrar usando reglas básicas. Dada una función racional {eq}f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} {/eq} entonces si {eq}(ax+b) {/eq} es un factor lineal de { eq}q(x) {/eq} la expansión en fracción parcial de {eq}f(x) {/eq} incluirá un término de la forma

$$\frac{A}{ax+b} $$

donde la constante {eq}A {/eq} queda por determinar algebraicamente. Si {eq}(ax^2+bx+c) {/eq} es un factor cuadrático irreducible de {eq}q(x) {/eq} entonces la expansión en fracción parcial incluye un término de la forma

$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} $$

donde {eq}A {/eq} y {eq}B {/eq} quedan por determinar. En caso de factores repetidos, el numerador de cada forma posible se puede multiplicar por {eq}x {/eq} para determinar la forma de los términos adicionales que aparecerán en la descomposición de la suma parcial. Las antiderivadas de términos con denominadores lineales implicarán logaritmos, mientras que las antiderivadas de términos con denominadores cuadráticos se pueden encontrar mediante sustitución y la regla integral adicional.

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + C $$

Integración por partes

La integración por partes es quizás la técnica de integración más aplicable en cálculo. La regla es una reformulación de la regla del producto de diferenciación en forma integral y se puede aplicar a cualquier integrando que sea producto de dos términos. La fórmula de integración por partes es la siguiente:

$$\int u \ dv = uv – \int v \ du $$

Para utilizar la integración por partes, el integrando en cuestión debe separarse en factores representados por {eq}u {/eq} y {eq}dv {/eq}. Los términos correspondientes {eq}du {/eq} y {eq}v {/eq} deben encontrarse mediante diferenciación e integración respectivamente. Luego, la integral original puede reemplazarse por la expresión de la derecha, y la esperanza es que la nueva integral que aparece en esta fórmula sea más fácil de calcular que la original.

Cómo integrar en cálculo

Calcular integrales definidas e indefinidas en cálculo requiere identificar una antiderivada del integrando utilizando alguna combinación de reglas básicas y técnicas de integración avanzadas. Las integrales que involucran múltiples términos sumados o restados juntos, con coeficientes constantes, se pueden calcular término por término. Por ejemplo:

$$\int x^2 + 2x + 5 \ dx = \int x^2 \ dx + \int 2x \ dx + \int 5 \ dx $$

Después de separar la integral en términos más simples, cada uno puede identificarse como una función de potencia e integrarse utilizando la regla de la potencia. Cualquier coeficiente constante se deja sin cambios:

$$\begin{eqnarray} \int x^2 + 2x + 5 \ dx &=& \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \frac{x^{1+1}} {1+1} + 5 \frac{x^{0+1}}{0+1} + C \\ &=& \frac{x^3}{3} + x^2 + 5x + C \end {eqnarray} $$

Con práctica y experiencia con reglas derivadas, integrandos como {eq}2x {/eq} se pueden relacionar rápidamente con la antiderivada correspondiente {eq}x^2 {/eq} que aparece en la respuesta final, sin necesidad de pasos intermedios.. A continuación se muestran integrales más complicadas que requerirán el uso de una de las técnicas avanzadas de integración.

Ejemplos de técnicas de integración

• {eq}\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \ dx \ = \? {/eq}

El integrando implica un término complicado, {eq}e^{x^3} {/eq}, que es una composición de dos funciones diferentes. Usar la sustitución {eq}u=x^3 {/eq} hará que este término aparezca como {eq}e^u {/eq}, que es mucho más simple. Para utilizar la integración por sustitución, todas las instancias de la variable original {eq}x {/eq} deben reemplazarse con la nueva variable {eq}u {/eq} y el siguiente paso es convertir el diferencial {eq}dx { /eq}. Diferenciar la sustitución elegida muestra que

$$\frac{du}{dx} = 3x^2 \qquad \mathrm{o} \qquad dx= \frac{1}{3x^2}du $$

Al realizar la sustitución y reemplazar el diferencial en la integral original se obtiene ahora

$$\int x^2 e^{x^3} \ dx = \int x^2 e^u \left(\frac{1}{3x^2} du \right) = \frac{1}{3 } \int e^u \ du $$

El otro factor que involucra a {eq}x {/eq} se ha cancelado, porque {eq}x^2 {/eq} tiene el mismo grado que la derivada de {eq}u=x^3 {/eq}. La expresión resultante se puede integrar fácilmente con respecto a la nueva variable {eq}u {/eq} usando la regla exponencial:

$$\frac{1}{3} \int e^u \ du = \frac{1}{3}e^u + C $$

La respuesta final para la integral en cuestión se puede expresar en términos de {eq}x {/eq} simplemente reemplazando {eq}u {/eq} con la expresión equivalente que se eligió originalmente:

$$\int x^2 e^{x^3} \ dx = \frac{1}{3}e^u + C = \boxed{ \frac{1}{3} e^{x^3} + C } $$

• {eq}\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx \ = \? {/eq}

Una sustitución {eq}u {/eq} del término dentro de la raíz es un primer paso razonable, pero desafortunadamente dará como resultado una expresión que inevitablemente incluye ambas variables {eq}x {/eq} y {eq}u {/eq }, que no se puede integrar. En cambio, debido a que el integrando cae en uno de los tres casos en los que se puede usar una sustitución trigonométrica, {eq}x=\sin\theta {/eq} y {eq}dx=\cos\theta \,d\theta {/ eq} será sustituido. Esto produce

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \int \frac{1}{ \sqrt{ 1 – \sin^2\theta}} \cos\theta \ d \theta $$

Según la identidad pitagórica, {eq}\sin^2 \theta + \cos^2\theta = 1 {/eq}, la nueva integral se puede simplificar de la siguiente manera:

$$\int \frac{\cos\theta }{ \sqrt{ 1 – \sin^2\theta}} \ d\theta = \int \frac{\cos\theta }{ \sqrt{ \cos^2\ theta}} \ d\theta = \int \frac{\cos\theta }{ { \cos \theta}} \ d\theta = \int d\theta $$

y la antiderivada es simplemente {eq}\theta {/eq}. Dado que {eq}x=\sin\theta {/eq}, se puede reemplazar {eq}\theta {/eq} con el seno inverso de {eq}x {/eq}, y la respuesta final es

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx = \theta + C = \boxed{ \sin^{-1} x + C } $$

• {eq}\displaystyle \int \frac{1}{x^3+x} \ dx \ = \? {/eq}

Esta integral implica una expresión racional cuyo denominador tiene factores {eq}x {/eq} y {eq}x^2+1 {/eq}. Luego debe haber una descomposición en fracciones parciales del integrando de la siguiente forma:

$$\frac{1}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \ \ \, \ \ \mathrm{para \ algunos } \ A, B, C \in \mathbb{R} $$

Sumar los términos de la derecha usando un denominador común muestra que

$$\frac{1}{x^3+x} = \frac{Ax^2+A + Bx^2+Cx}{x(x^2+1)} $$

La comparación de los términos de grados coincidentes en los numeradores muestra que uno debe tener

$$\left\{\begin{array}{l} A=1 \\ C=0 \\ A+B=0 \end{array}\right. $$

donde la segunda y tercera ecuaciones se derivan del hecho de que no hay términos {eq}x {/eq} o {eq}x^2 {/eq} en el numerador original. La tercera ecuación se puede resolver para {eq}B=-1 {/eq} y se deduce que la descomposición en fracciones parciales del integrando es

$$\frac{1}{x^3+x} = \frac{1}{x} – \frac{x}{x^2+1} $$

La integral en cuestión ahora se puede encontrar integrando cada una de estas fracciones más simples individualmente. La antiderivada del primer término de la derecha es el logaritmo natural, pero el segundo requiere usar la sustitución {eq}u=x^2+1 {/eq} y {eq}dx=\frac{du}{2x } {/eq}. Esto produce

$$\int \frac{x}{x^2+1} \ dx = \int \frac{x}{u} \left( \frac{du}{2x}\right) =\frac{1}{ 2} \int \frac{1}{u} \ du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C $$

La integral original se puede expresar entonces como

$$\int \frac{1}{x^3+x} \ dx = \int \frac{1}{x} \ dx – \int \frac{x}{x^2+1} \ dx = \ encuadrado{ \ln|x| – \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C } $$

• {eq}\displaystyle \int x\cos x \ dx \ = \? {/eq}

El integrando aquí es un producto de dos funciones no relacionadas, {eq}x {/eq} y {eq}\cos x {/eq}, por lo que la integración por partes puede ser efectiva. Para aplicar la fórmula de integración por partes, elija {eq}u=x {/eq}, cuyo diferencial es simplemente {eq}du=dx {/eq}. El otro factor entonces debe ser {eq}dv=\cos x \, dx {/eq}, cuya antiderivada es {eq}v=\sin x {/eq}. Sustituyendo estos cuatro términos en la fórmula {eq}\int u\,dv=uv-\int v\,du {/eq} se obtiene

$$\int x\cos x \ dx = x\sin x – \int \sin x \ dx $$

La nueva integral que aparece a la derecha es de hecho más simple, ya que se ha eliminado el factor de {eq}x {/eq} y se conoce la antiderivada de la función trigonométrica restante. El resultado de la integración por partes es

$$\int x\cos x \ dx = \boxed{ x\sin x + \cos x + C } $$

Resumen de la lección

El cálculo integral es la rama del cálculo que implica calcular antiderivadas y usarlas para calcular el cambio total en una cantidad. La integral definida de una función en un intervalo dado es el área con signo bajo la curva y corresponde con el cambio en el valor de la función antiderivada. La integral indefinida de una función {eq}f(x) {/eq} es el conjunto de todas las antiderivadas posibles, es decir, funciones que satisfacen {eq}F'(x)=f(x) {/eq}, que es representado simbólicamente por

$$\int f(x) \ dx = F(x) + C $$

Algunas antiderivadas se pueden calcular rápidamente utilizando métodos básicos como la regla de la potencia, pero es posible que se requieran varias técnicas de integración avanzadas para resolver integrales más complicadas. La integración por sustitución implica introducir una nueva variable que idealmente reduce la integral a una que se pueda encontrar usando reglas básicas. En ciertos casos especiales, se utilizan sustituciones trigonométricas para lograr esto. El método de fracciones parciales se puede aplicar a funciones racionales y se basa en descomponerlas en fracciones más simples que se pueden integrar individualmente. La integración por partes es un método muy general que se puede aplicar para integrar funciones que pueden escribirse como producto de dos factores.