Teorema del producto para exponentes: definición y ejemplos

Eso es muchos ceros

Hay 100.000 invitados en una fiesta que organiza su empresa. Usted está a cargo de los obsequios de la fiesta y su jefe exige que cada invitado reciba una tarjeta de regalo con $ 100. Necesita averiguar rápidamente cuánto dinero en tarjetas de regalo debe repartir, pero no tiene una calculadora ni tiempo para escribirlo todo. ¡No te preocupes! Podemos usar exponentes para simplificar su problema y resolver las cosas fácilmente.

100.000 se puede escribir como exponente 10 5 . Esto se debe a que 10 multiplicado por sí mismo 5 veces dará como resultado 100.000. 100 se puede escribir como exponente 10 2 . Para averiguar cuánto dinero en tarjetas de regalo necesita, simplemente multiplica 10 5 por 10 2 . Para multiplicar estos dos términos exponenciales con una base de diez, debemos usar el Teorema del producto para exponentes.

Teorema del producto para exponentes

Antes de adelantarnos, repasemos algunas definiciones. El teorema del producto para exponentes es una regla que gobierna cómo multiplicamos términos exponenciales con la misma base. La base es el número de la izquierda en un término exponencial. Es el número que se está multiplicando. El número en la parte superior derecha se llama potencia o exponente y te dice cuántas veces debes multiplicar la base por sí misma. En el término 10 5 , 10 es la base y 5 es el exponente. Esto nos dice que debemos multiplicar diez por sí mismo cinco veces.

El teorema del producto para exponentes se ve así:

El teorema de los exponentes del producto establece que cuando dos términos exponenciales que tienen la misma base se multiplican, se suman los exponentes (potencias). Por lo tanto, cuando multiplicamos 10 5 por 10 2 , sumaremos los dos exponentes (5 + 2) para obtener 7. La base de diez permanece como está. Esto nos da 10 7 como nuestra respuesta. 10 7 es igual a 10,000,000. ¡Esto significa que entregará $ 10,000,000 en tarjetas de regalo! Es posible que su jefe desee reconsiderar su generosidad.

Ejemplo con variables

Probemos algunos con variables , las incógnitas que están representadas por letras, que a menudo verás en tus clases de matemáticas. Digamos que necesitas multiplicar x 4 por x 6 . Dado que ambos términos tienen una base de x , podemos usar el teorema del producto nuevamente y sumar los exponentes para obtener x 10 .

Ejemplo con múltiples variables

No todos los problemas serán tan sencillos. A veces se le presentará un problema con más de una variable. Digamos que se le pide que multiplique x 2 y 9 z por y 8 z 3 x . No se deje abrumar por todas las variables y números, solo sume los exponentes para los términos con la misma base. Esto te dará una respuesta de x 3 y 17 z 4 . En nuestra respuesta, siempre colocamos las variables en orden alfabético, por lo que x es el primero en la respuesta y z es el último.

Tenga en cuenta que cuando una variable no parece tener un exponente, en realidad tiene un exponente de 1 ( x = x 1 ).

Ejemplo con exponentes negativos

¿Qué pasa si uno de los exponentes es negativo? Simplemente resuelva como de costumbre. Digamos que necesitas multiplicar 3 12 por 3-6 . Simplemente suma tus exponentes de 12 y -6 para obtener 6. Por lo tanto, tu respuesta será 3 6 . Puedes simplificar eso multiplicando 3 por sí mismo seis veces para obtener 729. ¡Es fácil!

Pero, digamos que tienes que multiplicar 3-12 por 3 6 . Esta vez, agregará -12 y 6 para obtener -6. Su respuesta entonces será 3-6 . Para cambiar el signo de un exponente, todo lo que hace es usar el recíproco o inverso , ambos términos significan “hacer lo contrario”. Como probablemente recordará, cualquier número entero se puede escribir como una fracción dándole un denominador de 1: 6 = 6/1. Entonces, el inverso o recíproco de 6 es 1/6.

Como tal, para cambiar el signo del exponente negativo, tomamos el recíproco, moviendo la expresión exponencial al denominador. Para hacer esto, colocamos 3 6 debajo de un 1 en una fracción. Esto significa que nuestra respuesta se simplificará a 1/3 6 que es igual a 1/729. Este es un concepto un poco avanzado, pero no es demasiado complicado.

Resumen de la lección

El teorema del producto para exponentes establece que los términos exponenciales que tienen la misma base se pueden multiplicar juntos. Cuando multiplica los términos exponenciales, la base permanece igual mientras se suman las potencias o exponentes .