Teorema del valor extremo y teorema de Bolzano

Teorema del valor extremo

El teorema del valor extremole dice cuándo una función continua tendrá un máximo y un mínimo en un intervalo cerrado. ¿Qué significa esto? Primero, imagine una función, cualquier función continua (es decir, cualquier función que no esté dividida en ninguna parte). Tome la gráfica de la función f (x) = cos x – 2 sin x, por ejemplo. Observa el intervalo cerrado de x = 0 ax = 6. Todo lo que te dice el teorema del valor extremo es que, en este intervalo, tu función continua alcanzará un punto más alto y un punto más bajo. En este caso, tenemos la parte inferior del desnivel y la cima del cerro. Ahora, mire la gráfica de la función f (x) = x – 5. Aplicando el teorema del valor extremo al intervalo cerrado de x = 2 a x = 4, vemos que esta función continua alcanza un punto más bajo y un punto más alto dentro de este intervalo. Para esta función continua,

Encontrar máximos y mínimos

En matemáticas, que llamamos los puntos más bajos mínimos y altos puntos máximos . ¿Cómo podemos ir y encontrar estos mínimos y máximos? Hay dos pasos:

• Paso 1. Encuentra los puntos donde la primera derivada de la función es igual a cero; y ‘= 0.
• Paso 2. Evalúe la función en los puntos de arriba y en los puntos finales del intervalo.

Una vez que haya evaluado su función en todos sus puntos, podrá encontrar sus puntos mínimos y máximos. Su punto mínimo es el que evalúa la respuesta más baja, mientras que el punto máximo es el que evalúa la respuesta más grande. Por ejemplo, para encontrar los puntos máximo y mínimo para la función f (x) = x – 5, en el intervalo cerrado de x = 2 ax = 4, primero tomamos la primera derivada de la función y la resolvemos para cero. Obtenemos f (x) = 1. Dado que esta primera derivada simplemente es igual a 1, no tenemos nada que resolver, por lo que no tenemos puntos para encontrar. A continuación, evaluamos nuestra función original en cualquier punto que encontramos al encontrar la primera derivada y en los extremos de nuestro intervalo cerrado. No tenemos puntos de nuestra primera derivada. Nuestro intervalo cerrado comienza en x = 2 y termina en x = 4, entonces podemos evaluar nuestra función en x = 2 y x = 4. Obtenemos f (2) = (2) – 5 = -3 = -3 y f (4) = (4) – 5 = -1 = -1 . Al observar todas nuestras respuestas, vemos que tenemos un mínimo de -3 en x = 2 y un máximo de -1 en x = 4.

Teorema de Bolzano

Donde la teoría del valor extremo le ayuda a encontrar sus máximos y mínimos, el teorema de Bolzanole ayuda a encontrar sus soluciones. El teorema le dice que si una función continua en un intervalo definido dado cambia de signo, entonces debe ser igual a cero en algún punto del intervalo. Por ejemplo, debido a que la función f (x) = cos x – 2 sen x, cambia de signo en el intervalo que comienza en x = 0 y termina en x = 1, entonces, de acuerdo con el teorema de Balzano, esta función debe ser igual a cero en algún punto de este intervalo. Como puede ver en el gráfico, esta función primero es positiva y luego cambia a negativa en este intervalo. Y puede ver que cruza el eje x y, por lo tanto, es igual a cero en lo que parece x = 0.5. Esta es entonces una de las soluciones de la función. Recuerde que nuestras soluciones son donde la función es igual a cero o cruza el eje x.

Encontrar la solución

El teorema de Bolzano no le dice cuál es la solución, pero sí le dice si una solución está presente dentro de un cierto intervalo. Para encontrar la solución, puede mirar la gráfica y estimar o puede establecer la función igual a cero y luego resolverla.

Para funciones que son cíclicas, como la función seno y coseno, busca la respuesta que se incluye en el intervalo. Para nuestra función f (x) = cos x – 2 sin x, la solución dentro de nuestro intervalo es 0.464. Esta función en particular también tiene soluciones en 3.605 y 6.747. Debido a que esta función es cíclica, tiene respuestas que se repiten cada cierto tiempo. Pero como solo nos interesan las respuestas dentro del intervalo cerrado de x = 0 ax = 1, la única solución que se ajusta a este criterio es la solución 0.464. Como puede ver, esta solución de 0.464 está muy cerca de 0.5, que es lo que vemos en el gráfico.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. El teorema del valor extremo te dice cuándo una función continua tendrá un máximo y un mínimo en un intervalo cerrado. En matemáticas, llamamos mínimos a los puntos más bajos y máximos a los puntos más altos . Para encontrar estos mínimos y máximos, seguimos estos dos pasos:

• Paso 1. Encuentra los puntos donde la primera derivada de la función es igual a cero; y ‘= 0.
• Paso 2. Evalúe la función en los puntos de arriba y en los puntos finales del intervalo.

El teorema de Bolzano le dice que si su función continua en un intervalo definido dado cambia de signo, entonces debe ser igual a cero en algún punto del intervalo. Para encontrar la solución, puede mirar la gráfica y estimar o puede establecer la función igual a cero y luego resolverla.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador