Teorema fundamental del álgebra: explicación y ejemplo

Analogía de tarifas bancarias

Esta lección le mostrará cómo interpretar el teorema fundamental del álgebra. Después de completar esta lección, podrá enunciar el teorema y explicar lo que significa. Antes de enunciar el teorema, consideraremos la siguiente analogía.

Supongamos que su banco cobra una tarifa cada vez que retira dinero de un cajero automático. Si retira dinero cinco veces en un mes en particular, esperará cinco comisiones bancarias respectivas en el estado de cuenta de ese mes. Cambiemos esta afirmación usando alguna jerga matemática:

Si retira dinero n veces en un mes en particular, entonces esperará n tarifas bancarias respectivas en el estado de cuenta de ese mes.

5 retiros = 5 comisiones bancarias

El teorema fundamental del álgebra es tan sencillo como esta analogía bancaria.

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:

Una función polinomial f (x) de grado n (donde n> 0) tiene n soluciones complejas para la ecuación f (x) = 0.

Tenga en cuenta que los términos ‘ceros’ y ‘raíces’ son sinónimos de soluciones tal como se utilizan en el contexto de esta lección.

Eso es básicamente todo. Ahora, ya deberíamos saber que los polinomios se pueden describir por su grado. Por ejemplo, el polinomio x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 6 x – 8 tiene un grado de 3 porque su mayor exponente es 3. El grado de un polinomio es importante porque nos dice el número de soluciones de un polinomio.

El teorema no nos dice cuáles son las soluciones. Solo nos dice cuántas soluciones existen para una función polinomial dada.

Entonces, ¿de qué sirve eso? En primer lugar, es importante comprender los conceptos subyacentes de cualquier tema matemático que esté aprendiendo. Además, el teorema fundamental del álgebra tiene aplicaciones prácticas. Por ejemplo, si necesita encontrar las soluciones de una función polinomial, digamos, de grado 4, sabe que debe seguir trabajando hasta encontrar 4 soluciones.

Soluciones imaginarias

Es importante notar que el teorema dice soluciones complejas , por lo que algunas soluciones pueden ser imaginarias o tener una parte imaginaria. Quizás deberíamos hacer una revisión rápida de los números complejos.

Los números complejos son en forma de un + bi ( un y b son números reales). El término a es la parte real y el término bi es la parte imaginaria. Si b = 0, entonces el número es un número real.

Por tanto, todos los números reales son números complejos. Veamos un par de ejemplos:

En el número complejo 2 + 3 i , 2 es la parte real y 3 i es la parte imaginaria.

En el número complejo 25 + 0 i , 25 es la parte real y 0 i es la parte imaginaria. Como b = 0, el número se simplifica a 25.

Soluciones repetidas

Antes de ver algunos ejemplos de funciones polinomiales, aclaremos el concepto de soluciones repetidas . Una función polinomial tiene soluciones repetidas si tiene factores repetidos.

Una buena forma de demostrarlo es con la función f (x) = x ^ 3. Esta función tiene un grado de 3, por lo que según nuestro teorema, tiene 3 soluciones. Podríamos ver mejor las tres soluciones si mostramos la función en forma factorizada: f (x) = (x) (x) (x) . Hagamos ahora la función igual a cero: 0 = (x) (x) (x) . Si alguno de los tres factores es igual a cero, entonces la función es igual a cero. Por lo tanto, las soluciones son x = 0, x = 0 y x = 0. La solución de cero ocurre 3 veces.

Ejemplo 1

Comencemos con la función polinomial f (x) = x ^ 2 + 9. En forma factorizada, esta función es igual a ( x – 3 i ) ( x + 3 i ).

Esta función tiene un grado de 2, por lo que tiene dos soluciones, que son x = 3 i y x = -3 i . Estas son soluciones imaginarias, por lo que la gráfica de la función no cruza el eje x . En otras palabras, no tiene intercepciones x . Puede que hayas notado que las soluciones imaginarias son un par conjugado . De hecho, las soluciones imaginarias de funciones polinomiales que tienen números reales para coeficientes siempre ocurren en pares conjugados.

Si a + bi (cuando b no es igual a cero) es una solución de f (x) que es un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugado a – bi también es una solución de f (x) .

El gráfico de esta función se muestra a continuación:

Ejemplo # 2

Nuestra siguiente función es f (x) = x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 6 x – 8. Veamos también la gráfica de la función.

Claramente cruza el eje x tres veces, por lo que todas las soluciones deben ser soluciones reales. De hecho, la forma factorizada de esta función es f (x) = ( x + 1) ( x – 2) ( x + 4). Las soluciones para esta función son x = -1, x = 2 y x = -4. Estas soluciones también se pueden determinar observando dónde la gráfica cruza el eje x . Estas deben ser las únicas soluciones porque la función tiene un grado de 3.

Ejemplo # 3

La función final que veremos es f (x) = x ^ 4 + 2 x ^ 3 – 2 x ^ 2 + 8. Veamos la gráfica de esta función.

Tenga en cuenta que esta función toca la x eje x en x = -2. Cuando una gráfica toca pero no cruza el eje x , nos dice que tenemos una solución repetida (en este caso, x = -2 ocurre dos veces). La gráfica no cruza el eje x en ningún otro punto, por lo que las otras soluciones deben ser imaginarias.

Aunque el mismo factor ( x + 2) ocurre dos veces, todavía crea dos soluciones para la función. Los otros factores son claramente un par conjugado de factores imaginarios, como se esperaba. Nuestras cuatro soluciones son las siguientes:

f (x) = ( x + 2) ( x + 2) ( x – (1 – i )) ( x – (1 + i ))

Esto se simplifica en: x = -2, x = -2, x = 1 – i , y x = 1 + i

Resumen de la lección

El teorema fundamental del álgebra simplemente establece que el número de soluciones complejas de una función polinomial es igual al grado de una función polinomial. Conocer este teorema le da un buen punto de partida cuando se le pide que encuentre los factores y las soluciones de una función polinomial. Además, no te olvides de usar gráficas de funciones polinomiales para ayudarte. Pueden mostrar si las soluciones son reales y / o imaginarias. Los gráficos también pueden proporcionar evidencia de soluciones repetidas.

Los resultados del aprendizaje

Tan pronto como trabaje con éxito en esta lección, podrá tener la capacidad de:

• Comprender el teorema fundamental del álgebra
• Muestre su comprensión de soluciones repetidas y soluciones complejas
• Aplicar el teorema al resolver funciones polinomiales

Rodrigo Ricardo Editor y fundador