Traducir y reflejar gráficos de funciones lineales

Gráficos de funciones lineales

La próxima vez que esté en un automóvil y esté lloviendo, debe tomarse un momento para notar los limpiaparabrisas. Comienzan a acostarse y luego se mueven a través del parabrisas y luego regresan. La escobilla del limpiaparabrisas se puede considerar como una función lineal y su viaje a través del vidrio como una serie de transformaciones en funciones lineales.

Los gráficos de funciones lineales son líneas y las transformaciones moverán esas líneas. Esta lección describirá los diferentes tipos de transformaciones en funciones lineales y cómo leer la función para determinar qué movimiento debe ocurrir.

Una función lineal tiene una gráfica que es una línea recta. La función lineal más simple es f (x) = x . La gráfica es una línea que tiene una y interceptación (el punto en el que el y eje x y el de intersección gráfico) en el origen (0,0) y tiene una pendiente de 1. En forma pendiente-intersección, la función sería f (x) = 1 x + 0.

Todas las demás funciones lineales se pueden crear mediante una transformación (traslación, reflexión y estiramiento) en la función principal f (x) = x . La notación para la transformación es cambiar el nombre de la función después de la transformación y luego decir cómo sucedió la transformación. Por ejemplo, g (x) = f (x) + 1 significa que la función f (x) sube un punto y se convierte en la función llamada g (x) .

¿Qué es la traducción?

Al traducir una función f (x) , puede mover la función horizontalmente a lo largo del eje x , o puede mover la función verticalmente a lo largo del eje y . Las traslaciones horizontales se indican dentro de la notación de la función. Por ejemplo, una traslación , que básicamente es simplemente deslizar la línea alrededor, que mueve la función 3 lugares a la derecha se denotaría como f (x – 3) . Una traslación que mueve una función verticalmente se denota fuera de la notación de función.

Por ejemplo, la traslación f (x) + 3 moverá la función hacia arriba tres lugares. Observe que los cambios horizontales se mueven en la dirección opuesta al cambio. Un cambio horizontal de f (x + 5) mueve la gráfica f (x) a la izquierda 5 lugares. Un cambio vertical se mueve según las direcciones. Un cambio vertical de f (x) + 7 mueve la función f (x) siete lugares hacia arriba.

Ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo de traducción:

Traslada la función f (x) = 4 x – 7 dos lugares a la derecha y cinco lugares hacia abajo.

La notación de traducción se verá así:

• f (x – 2) – 5

Reescribe f (x) con espacio para realizar cambios dentro de la función:

• f (x) = 4 ( x ) – 7

Para mover dos lugares a la derecha, reste 2 dentro de la función:

• f (x) = 4 ( x – 2) – 7

Para moverse cinco lugares hacia abajo, reste 5 fuera de la función:

• f (x) = (4 ( x – 2) – 7) – 5

Simplificar:

• f (x) = 4 x – 8 – 7 – 5
• f (x) = 4 x – 20

La función f (x) = 4 x – 7 trasladada dos lugares a la derecha y cinco lugares hacia abajo se convierte en la función:

• g (x) = 4 x – 20

¿Qué es la reflexión?

Para la reflexión , que básicamente consiste en voltear la línea de una función lineal a través del eje x o el eje y , debe seguir los mismos pasos que cualquier función. Debe colocar un símbolo negativo al frente de la función o dentro de la función. Un negativo delante de la función – f (x) reflejará la línea sobre el eje x : se volteará verticalmente. Un interior negativo de la función f (-x) reflejará la línea sobre el eje y : se volteará horizontalmente.

Ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo de reflexión:

¿Cuál es la ecuación de la función f (x) = 3 x – 6 reflejada a través del eje y ?

Se refleja en el eje y , por lo que el negativo va dentro de la función:

• f (x) = 3 x – 6
• f (x) = 3 (-x) – 6
• f (x) = -3 x – 6
• g (x) = -3 x – 6

¿Qué es el escalado?

Escalar una función implica estirarla o reducirla. Puede estirar una función lineal tanto horizontal como verticalmente. Para estirar una función verticalmente, agregue un multiplicador al exterior de la función, ejemplo 2 f (x) . Si el multiplicador es menor que 1, la función se reducirá verticalmente.

Para estirar la función horizontalmente, coloque el multiplicador que es menor que uno en el interior de la función, por ejemplo f (.5x) .

Los multiplicadores superiores a 1 que se colocan en el interior de la función reducirán la función horizontalmente. Observe que los multiplicadores verticales y horizontales tienen reacciones opuestas. Esto es similar a las traducciones horizontales.

Ejemplo

Ahora, finalmente, echemos un vistazo a un ejemplo de escala:

Estire la función f (x) = 4 x – 3 verticalmente por un factor de 2 y contraiga horizontalmente por un factor de 1/3:

f (x) = 4 x – 3

Para estirar verticalmente, multiplique por 2:

f (x) = 2 (4 x – 3) = 8 x – 6

Para encoger por un factor de 1/3, multiplique el interior por un factor de 3:

f (x) = 8 (3 x ) – 6 = 24 x – 6

g (x) = 24 x – 6

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido.

El gráfico de una función lineal (una línea) se puede mover alrededor de la cuadrícula de coordenadas. A esto se le llama transformación. Hay tres transformaciones básicas: traslación (deslizar la línea alrededor), reflexión (voltear la línea) y escalar (estirar la línea). Puede mover (transformar) la línea vertical u horizontalmente. Si mueve la línea verticalmente, todas las transformaciones estarán fuera de la función. Si mueve la función horizontalmente, todas las transformaciones estarán en el interior de la función.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador