Transformación de congruencia: definición y teoremas

Transformaciones de congruencia

Todos somos conscientes de que cuando nos miramos en el espejo, nos vemos a nosotros mismos, o una imagen de nosotros mismos que se ve exactamente igual que nosotros. Esta actividad podría compararse con tomarnos a nosotros mismos y reflejarnos en el espejo para mirarnos a nosotros mismos. En matemáticas, esto se llama reflexión y es un ejemplo de transformación de congruencia.

Decimos que dos objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Por ejemplo, nuestros reflejos en un espejo tienen la misma forma y tamaño que nosotros, así que diríamos que somos congruentes con nuestro reflejo en un espejo.

Como dijimos, se puede pensar que nuestro reflejo en el espejo refleja o voltea a nosotros mismos sobre el espejo, de modo que nos miramos a nosotros mismos. En otras palabras, podemos mover un objeto original, nosotros mismos, de tal manera que encajemos exactamente sobre nuestra imagen en el espejo. Esta es otra forma de definir objetos congruentes. Es decir, dos objetos son congruentes si podemos mover uno de los objetos, sin cambiar su forma o tamaño, de tal manera que encaje exactamente sobre la otra imagen, y a estos movimientos los llamamos transformaciones de congruencia.

Las transformaciones de congruencia son transformaciones realizadas en un objeto que crean un objeto congruente. Hay tres tipos principales de transformaciones de congruencia:

1. Traducción (una diapositiva)
2. Rotación (una vuelta)
3. Reflexión (un tirón)

Podemos usar estas tres transformaciones para determinar si dos objetos son congruentes al ver si podemos pasar de uno de los objetos al otro usando solo estas transformaciones de congruencia.

Por ejemplo, considere los dos rectángulos que se muestran en la imagen.

Observe que si deslizamos el rectángulo 1 hacia arriba y hacia la derecha, termina exactamente sobre el rectángulo 2. Por lo tanto, podemos obtener el rectángulo 2 tomando el rectángulo 1 mediante una transformación de congruencia (traslación), por lo que los dos rectángulos son congruentes.

Hay muchos teoremas que tienen que ver con las transformaciones de congruencia. ¡Echemos un vistazo a algunos realmente interesantes!

Reflexiones en el teorema de líneas paralelas

El primer teorema que vamos a ver es el teorema de las reflexiones en líneas paralelas . Este teorema establece que si dos rectas, l 1 y l 2 , son paralelas y usted refleja una forma sobre l 1 y luego sobre l 2 , el resultado es el mismo que una traslación de la forma original. Además, esa traslación es en la dirección que es perpendicular a las líneas paralelas y es dos veces la distancia entre las líneas paralelas.

Por ejemplo, suponga que dos rectas, l 1 y l 2 , son paralelas. Ahora considere tomar un triángulo y reflejarlo sobre l 1 , y luego tomar esa imagen y reflejarla sobre l 2 .

Tenga en cuenta que hacer esto también podría lograrse trasladando el triángulo original a la derecha. Como establece el teorema de las reflexiones en líneas paralelas, este será siempre el caso.

Bueno, ¡eso es bastante bueno! Consideremos otro teorema que involucra transformaciones de congruencia.

Reflexiones en el teorema de líneas que se cruzan

Este teorema es similar al teorema de reflexiones en líneas paralelas, pero tiene que ver con la reflexión sobre líneas que se cruzan en lugar de líneas paralelas, por lo que el resultado es diferente. El teorema de las reflexiones en las líneas que se cruzan establece que si dos líneas, l 1 y l 2 , se cruzan entre sí, y reflejamos una forma sobre l 1 y luego sobre l 2 , el resultado es el mismo que una rotación de la forma original. Esta rotación es alrededor del punto de intersección de las dos líneas y cubre un ángulo que es dos veces el ángulo entre las líneas que se cruzan.

Por ejemplo, suponga que dos líneas, l 1 y l 2 , se cruzan en algún punto, y reflejamos un triángulo sobre l 1 , y luego reflejamos esa imagen sobre l 2 .

Podemos ver que también podemos lograr la imagen final rotando el triángulo original alrededor del punto de intersección de las dos líneas.

¿Ves en qué se diferencian los dos teoremas? Si estamos reflejando sobre dos líneas paralelas, la misma imagen se puede lograr mediante una transformación de congruencia de traslación, mientras que si estamos reflejando sobre dos líneas que se cruzan, la misma imagen se puede lograr mediante una transformación de congruencia de rotación.

En última instancia, vemos que realizar transformaciones de congruencia en un objeto da como resultado objetos congruentes. Podemos usar estas transformaciones para crear objetos congruentes, ¡o podemos usarlas para verificar que dos objetos son congruentes!

Resumen de la lección

Dos objetos son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma. También podemos definir objetos como congruentes si podemos mover un objeto para obtener el otro objeto a través de una transformación de congruencia . Una transformación de congruencia es una transformación que no cambia el tamaño o la forma de un objeto. Hay tres tipos principales de transformaciones de congruencia, y esos son reflejos (volteretas), rotaciones (giros) y traslaciones (diapositivas). Estas transformaciones de congruencia se pueden usar para obtener formas congruentes o para verificar que dos formas son congruentes.

Las transformaciones de congruencia son interesantes, porque varias combinaciones de transformaciones son equivalentes a varias otras combinaciones de transformaciones. Por ejemplo, el teorema de reflejos en líneas paralelas establece que si reflejamos una imagen sobre dos líneas paralelas, es lo mismo que traducir esa imagen. De manera similar, el teorema de las reflexiones en las líneas que se cruzan establece que si reflejamos una imagen sobre dos líneas que se cruzan, es lo mismo que rotar la imagen alrededor del punto de intersección de las dos líneas.

Las transformaciones de congruencia ocurren todo el tiempo en nuestra vida diaria. Deslizar una hoja de papel sobre un escritorio, mirar en el espejo o las letras de un neumático girando con el neumático. ¿Quién iba a imaginar que tales eventos cotidianos ordinarios pudieran ser tan matemáticos?