Funciones cuadráticas
Te paras en tu patio trasero y lanzas una pelota al aire. Hace un bonito arco y luego vuelve al suelo. ¡Esa bonita forma que acabas de hacer se ve exactamente como la gráfica de una función cuadrática! Las funciones cuadráticas son funciones de segundo orden, lo que significa que el mayor exponente de una variable es dos. Por lo general, tienen esta forma: f (x) = ax 2 + bx + c . Una cosa a tener en cuenta sobre esa ecuación es que el coeficiente a no puede ser igual a cero.
Graficar funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas se pueden representar gráficamente como cualquier otra función. Lo bueno de estos es que siempre se graficarán en una forma curva llamada parábola . Las parábolas tienen forma de U y pueden estar invertidas dependiendo de los números de la ecuación.
Veamos la función padre de una cuadrática: f (x) = x 2 . Si comparamos esto con la forma habitual de f (x) = ax 2 + bx + c , podemos ver que a = 1, b = 0 yc = 0. Cuando graficamos esta función madre, obtenemos nuestra parábola típica en forma de u.
Transformación
Digamos que dio un paso hacia la izquierda y lanzó la pelota más alto en su patio trasero. ¡Acabas de transformar tu parábola! Podemos transformar gráficos moviéndolos, volteándolos, estirándolos o encogiéndolos. Podemos hacer esto cambiando la ecuación de la gráfica.
El primer tipo de transformaciones que trataremos se denominan desplazamientos . Esto significa que estamos moviendo el gráfico horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha o verticalmente hacia arriba o hacia abajo. Digamos que queremos mover nuestra gráfica padre de f (x) = x 2 a la derecha cinco unidades. Para hacer esto, tenemos que restar cinco del valor x entre paréntesis así: f (x) = (x – 5) 2 . Cualquier cambio a la derecha se completará restando un número dentro del paréntesis, mientras que cualquier cambio a la izquierda se hará agregando un número dentro del paréntesis.
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Si desea cambiar el gráfico hasta cinco, se le agrega cinco a X , pero esta vez, no es necesario paréntesis, o se puede salir de ellos: f (x) = x 2 + 5 o f (x) = (x 2 ) + 5 . Cualquier desplazamiento vertical hacia arriba se realizará sumando un número fuera del paréntesis, mientras que cualquier desplazamiento vertical hacia abajo se obtendrá al restar un número fuera del paréntesis.
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Si desea cambiar el ancho de su gráfico, puede hacerlo en dirección vertical u horizontal. Para comprimir o estirar verticalmente, multiplicará la ecuación completa por un número. Si ese número es mayor que uno, el gráfico se ampliará. Si ese número está entre 0 y 1, ese gráfico se comprimirá. Piense en el gráfico que se empuja desde arriba y abajo y se comprime hacia el eje x . Por ejemplo, la función f (x) = 1/4 (x 2 ) se comprimirá verticalmente. En otras palabras, el gráfico se ensanchará.
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También puede cambiar el ancho del gráfico comprimiendo o estirando el gráfico en la dirección horizontal. Esta vez, multiplicarás solo x por un número. Si ese número es mayor que uno, el gráfico se comprimirá. Si el número está entre 0 y 1, el gráfico se ampliará. Esta vez, piense en la gráfica comprimida hacia el eje y porque se empuja desde la izquierda y la derecha. Para este ejemplo, veremos f (x) = (1 / 4x) 2 . Este gráfico se está estirando horizontalmente, lo que significa que se ensanchará.
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Por último, los gráficos se pueden voltear. Esto significa que la forma de U de la parábola se invertirá. Para hacer esto, simplemente hacemos que toda la función sea negativa. El nuevo gráfico se verá como una U invertida. Por ejemplo, f (x) = – (x 2 ) será el mismo en todos los aspectos excepto que se abre hacia abajo.
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¡Pongamos todo junto ahora! ¿Qué pasa si quieres que tu gráfica tenga múltiples transformaciones? Es fácil, solo sigue las instrucciones. Cambiemos nuestro gráfico hacia la izquierda 10, hacia abajo 5 y voltémoslo. Nos escribir la ecuación como esta: f (x) = – (x + 10) 2 – 5 .
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Resumen de la lección
Las funciones cuadráticas son funciones de segundo orden, lo que significa que el mayor exponente de una variable es dos. Por lo general, tienen esta forma: f (x) = ax 2 + bx + c . Siempre se graficarán en una forma curva llamada parábola , que es una forma de U. Podemos transformar gráficos por cambio de ellos (gráficos en movimiento arriba / abajo o izquierda / derecha), dándoles la vuelta, que se extiende, o la reducción de ellos.
¿Quieres transformar tu gráfica cuadrática? ¡Es simple! Cambie su ecuación de acuerdo con la siguiente tabla y ¡listo!
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