Transformaciones lineales: propiedades y ejemplos

Transformaciones lineales

Diríjase hacia el norte 2,5 millas, gire a la izquierda… Estas pueden ser direcciones para ir de aquí para allá. En matemáticas, ‘aquí’ y ‘allí’ pueden corresponder a ‘dominio’ y ‘rango’. El dominio consta de los valores en el eje x , mientras que el rango consta de los valores en el eje y . Piense en una función y = f ( x ) como un conjunto de direcciones: una transformación de valores de x en valores de y . Por ejemplo, la transformación y = x + 2 dice que para transformar los valores de x en valores de y , tome la xvalores y sume 2. Específicamente, para un valor de dominio de x = 1, la transformación x + 2 conduce a un valor de rango y = 1 + 2 = 3. El término mapa también se usa para esta acción de ir de ‘aquí’ a ‘ahí’. En resumen, una transformación mapea valores del dominio a valores en el rango.

En esta lección, estudiaremos un tipo especial de transformación llamada transformación lineal .

Definición de la transformación lineal

Mira y = x y y = x 2 .

y = x

y = x 2

La gráfica de y = x es una línea recta. Las palabras ‘línea recta’ y ‘lineal’ hacen que sea tentador concluir que y = x es una transformación lineal. La otra trama claramente no es una línea recta; nuestra intuición dice que y = x 2 no es una transformación lineal. ¿Sabes que? Para estos ejemplos, ¡nuestra intuición es correcta!

Pero como se demostrará más adelante en esta lección, la intuición puede conducir a errores. Necesitamos una forma más sólida de definir una transformación lineal.

Veamos dos valores de dominio u 1 y u 2 . Estos serán mapeados de dominio a rango (representados por v ) con una transformación T. En otras palabras, T mapea u 1 en v 1 y T mapea u 2 en v 2 .

Escribimos el mapeo como:

Ahora, aquí está la forma sólida de verificar si una transformación es lineal. Una transformación T es una transformación lineal si las dos propiedades siguientes son verdaderas:

y

Podemos elegir cualquier número para la constante α.

Prueba con valores

La selección de valores hace que las propiedades sean más claras. ¿Qué pasa si u 1 es 2 y u 2 es 3? Usando y = x :

Transformar 2 usando y = x produce un valor de rango v 1 igual a 2. La misma idea para un valor de dominio de 3: el resultado v 2 es 3. Ahora, si sumamos los dos valores de dominio, 2 + 3, obtenemos 5. Transformando esta suma de 5 produce un valor de rango de 5. Este valor es igual que la suma de v 1 y v 2 .

Eso es lo que estamos comprobando: ¿podemos transformar la suma de dos valores de dominio y obtener la misma suma cuando estos valores se transforman por separado? Para y = x , esto funciona. ¡Excelente! La primera propiedad está satisfecha. Esto puede haber parecido obvio, pero y = x es una transformación bastante simple.

Para probar la segunda propiedad, T (α u ) = αT ( u ), intente introducir algunos valores para α y u .

Por ejemplo, si u = 2, entonces se transforma a un valor de rango T ( u ) = 2. Si α es 3, entonces αT ( u ) es 3 por 2, que es 6. La propiedad que estamos comprobando es si multiplicar un valor de dominio por un número, y luego transformar, da el mismo resultado que multiplicar después de transformar.

Mirando α u obtenemos 3 por 2, que es 6. Transformando 6 en el rango, obtenemos 6. La segunda propiedad se satisface. Conclusión: ¡la transformación y = x es una transformación lineal!

¿Qué pasa con y = x 2 ? Es hora de elegir valores en el dominio. Sea u 1 = 2 y u 2 = 3. Sumar y luego transformar.

¿Es esto igual a la suma de esos valores de dominio transformados por separado?

4 + 9 es 13 que claramente no es 25. Transformar después de sumar no es lo mismo que sumar después de transformar: la primera propiedad no se satisface. Podemos dejar de verificar y concluir que y = x 2 no es una transformación lineal. Pero solo para practicar, ¿qué pasa con la segunda propiedad? ¿T (α u ) es igual a αT ( u )? Nuevamente, con números como u = 2 y α = 3, estamos verificando si multiplicar por una constante después de transformar es lo mismo que transformar después de multiplicar.

No es el mísmo. La segunda propiedad no se satisface. Misma conclusión: esta transformación no es lineal.

Un ejemplo no intuitivo

Sabemos que la transformación y = x + 1 es una línea recta.

y = x + 1; No es una transformación lineal

He aquí por qué esta transformación no es lineal. Elegir algunos valores: u 1 = 2 y u 2 = 3. Entonces, u 1 + u 2 = 5, T ( u 1 ) = 3, T ( u 2 ) = 4, T ( u 1 + u 2 ) = 6 .

¿T ( u 1 + u 2 ) = T ( u 1 ) + T ( u 2 )? Esto es preguntar si 6 es igual a 3 + 4. No es igual. Por tanto, esta transformación no es lineal. La segunda propiedad tampoco quedará satisfecha.

También resulta que una transformación lineal siempre asigna 0 a 0. En el origen , x = 0 e y = 0. Una línea solo puede ser una transformación lineal si la línea pasa por el origen.

¡Ahora sabemos más sobre cómo llegar de «aquí» a «allí»!

Resumen de la lección

Las transformaciones mapean números de dominio a rango . Si una transformación satisface dos propiedades definitorias , es una transformación lineal . La primera propiedad se ocupa de la suma. Comprueba que la transformación de una suma es la suma de transformaciones. La segunda propiedad trata de multiplicar por una constante, para comprobar si multiplicar después de transformar es lo mismo que transformar después de multiplicar.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador