Usar el razonamiento para comprender ecuaciones y soluciones

Resolver ecuaciones

Supongamos que vamos a la tienda de comestibles y vemos dos ofertas en la tienda. La primera dice que podemos comprar dos libras de cerezas por $ 8,00. El segundo dice que podemos comprar dos manzanas y tres plátanos por $ 4,00.

Estos anuncios nos hacen preguntarnos cuál es el costo de una libra de cerezas y el costo de una manzana o plátano en términos del costo de la otra fruta. ¡Sacamos un lápiz y un poco de papel y comenzamos a hacer algo de álgebra para resolverlo!

Para empezar, dejamos que c = el costo de una libra de cerezas. Sabemos que dos libras de cerezas cuestan $ 8.00, por lo que debe ser el caso que:

2 c = 8

A continuación, hacemos que a = el costo de una manzana y b = el costo de un plátano. Sabemos que si sumamos el costo de dos manzanas, o 2 a , y el costo de tres plátanos, o 3 b , entonces obtenemos $ 4.00. Esto da lo siguiente:

2 a + 3 b = 4

¡Esto es genial! Tenemos dos ecuaciones que podemos usar para responder nuestras preguntas. Una ecuación es una declaración de que dos expresiones son iguales.

Para calcular el costo de una libra de cerezas, simplemente resolvemos la ecuación 2 c = 8 para c . Para encontrar el costo de una manzana o un plátano en términos de la otra fruta, resolvemos la ecuación 2 a + 3 b = 4 para a o b , respectivamente.

Tenemos soluciones para nuestras ecuaciones. Una solución a una ecuación es un valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Vemos que una libra de cerezas es $ 4,00. También encontramos que el costo de una manzana en términos del costo de un plátano viene dado por la ecuación:

a = (4 – 3 b ) / 2

Y el costo de un plátano en términos del costo de una manzana viene dado por la ecuación:

b = (4 – 2 a ) / 3

Estamos familiarizados con cómo resolver ecuaciones como estas. Aislamos la variable que estamos resolviendo usando un conjunto de reglas, pero ¿alguna vez has pensado por qué podemos resolver ecuaciones de esta manera? ¡Vamos a explorar!

Reglas para resolver ecuaciones

Como acabamos de decir, resolvemos este tipo de ecuaciones aislando la variable deseada usando un conjunto de reglas. Las reglas son las siguientes:

¡Ah-ja! Estas son las reglas exactas que usamos para resolver nuestras ecuaciones de comestibles. Ahora, veamos algunas razones por las que podemos usar estas reglas para resolver ecuaciones con el fin de ayudarnos a comprender mejor las ecuaciones y sus soluciones.

Usar el razonamiento para comprender ecuaciones y soluciones

Comencemos con la primera regla, que establece que podemos sumar o restar el mismo número o variable a ambos lados de una ecuación. Si consideramos un número x , sabemos que x es igual a sí mismo. Esto da paso a la ecuación

x = x

Ahora, ¿qué pasaría si se suma o se resta un número una en el lado izquierdo de la ecuación? Terminaríamos con:

x ± a = x

Esta afirmación solo es cierta si a es igual a cero. Para todos los otros números, si vamos a sumar o restar una al lado izquierdo de la ecuación, también hay que sumar o restar una al lado derecho de la ecuación con el fin de mantener a ambos lados de la ecuación son iguales .

x ± a = x ± a

Esto nos dice por qué podemos sumar o restar el mismo número o variable de ambos lados de una ecuación para resolver la variable deseada. Mientras lo hagamos en ambos lados, no cambiamos la igualdad de la ecuación.

Usamos el mismo razonamiento para la segunda regla. Si tenemos algún número, x , sabemos que es igual a sí mismo, por lo que tenemos la ecuación x = x . Si solo multiplicamos o dividimos un lado de la ecuación por un número o variable, a , entonces terminamos con una declaración falsa:

ax = x o x / a = x son declaraciones falsas para cualquier a ≠ 1

Sin embargo, si multiplicamos o dividimos ambos lados de la ecuación por el mismo número o variable, a , entonces mantenemos la igualdad y la ecuación permanece verdadera:

ax = ax o x / a = x / a son declaraciones verdaderas

No podemos dividir por cero, así que debemos tenerlo en cuenta con esta regla. Ahora vemos por qué podemos usar esta regla para aislar la variable mientras resolvemos una ecuación. Básicamente, vemos que al resolver ecuaciones de este tipo, simplemente estamos manipulando la ecuación sin cambiar su igualdad porque nos adherimos a estas reglas.

Resumen de la lección

Las ecuaciones son declaraciones que afirman que dos expresiones son iguales. Las soluciones de las ecuaciones son valores de la variable o variables que hacen que la ecuación sea verdadera. Para resolver ecuaciones con una o dos variables, aislamos la variable deseada en un lado de la ecuación usando las siguientes reglas:

1. Podemos sumar o restar el mismo número o variable de ambos lados de una ecuación.
2. Podemos multiplicar o dividir cada lado de la ecuación por el mismo número o variable, siempre que ese número o variable no sea 0.

Al seguir estas reglas, no cambiamos la igualdad de la ecuación, por lo que cada vez que sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos ambos lados de la ecuación por el mismo número o variable, la ecuación permanece verdadera y ambos lados de la ecuación permanecen igual. Usar un razonamiento como este nos ayuda a comprender mejor las ecuaciones y sus soluciones y nos permite conocer el «por qué» y el «cómo» que usamos para resolver ecuaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador