Uso de intersecciones en X para graficar funciones polinomiales

Polinomios

Comencemos por revisar la definición de polinomio como expresión matemática compuesta por más de un término. Por ejemplo, 2x es un monomio (un término) pero 2x + 3 es un polinomio (más específicamente un ‘binomio’ ya que solo tiene dos términos). Sabemos que ambas funciones f (x) = 2x y f (x) = 2x + 3 son lineales ya que cada una tiene un grado de 1. También observe que están en formato y = mx + b . El grado de cualquier monomio o polinomio se define como el exponente más alto. Por lo general, los polinomios se escriben en orden descendente de sus exponentes, pero si este no es el caso, siempre daremos el primer paso para reorganizar los términos de manera adecuada.

Funciones cuadráticas

Bien, entonces, ¿cómo podemos resolver funciones polinomiales para sus intersecciones x? Comencemos con el ejemplo común de una cuadrática. Una ecuación de segundo grado es un tipo específico de polinomio que está en la forma f (x) = ax 2 + bx + c , donde a , b , y c son constantes> 0. Debemos ser conscientes de que un cuadrática siempre tiene un grado de 2 y siempre tendrá la forma de una parábola cuando se grafica. Una parábola tiene la forma de una ‘U’ y su dirección será evidente en su ecuación. La gráfica base de una parábola es y = x 2 y se ve así:

Gráfico de parábola básica

¿Cuántas intersecciones x tiene esta función? Bueno, toca el eje x solo una vez en (0, 0), el origen. Para encontrar los ceros de la función algebraicamente , estableceríamos f (x) = 0 y resolveríamos para x . En este caso, tomaríamos la raíz cuadrada de ambos lados y obtendríamos x = 0 . Una vez que resolvemos la ecuación, tenemos nuestro (s) cero (s), también conocido como intersección con el eje x. Otros términos que puede ver que se usan en lugar de intersecciones con x son raíces o soluciones . Una ecuación cuadrática podría tener una, dos o cero soluciones.

Ejemplo 1

Ahora intentemos resolver algebraicamente las intersecciones con el eje x de

Haciendo una lluvia de ideas sobre los factores de -12 que dan una suma del valor de b -4, deberíamos elegir los factores -6 y 2. Entonces, los factores cuadráticos para

Luego, estableciendo f (x) = 0 obtenemos x = 6 y x = -2 . Estos son nuestros ceros, también conocidos como intercepciones x. Para trazar la gráfica de esta función, primero trazaríamos nuestras intersecciones con el eje x, las coordenadas (-2, 0) y (6, 0). Pero, ¿cómo saber en qué dirección se enfrentará la parábola?

Con el fin de hacer fácilmente esta predicción sin graficar otros puntos que sólo puede mirar en el coeficiente principal (el un valor en f (x) = ax 2 + bx + c ). Si a> 0 , entonces la parábola es una ‘U’ vertical como vimos en el gráfico base. Pero si a <0 , entonces la parábola se abrirá hacia arriba y hacia abajo. Así que desde el un valor en nuestra función es el coeficiente positivo implícita de 1, la parábola se abre hacia arriba.

Si queremos ser más precisos al dibujar, podemos encontrar el punto de inflexión o vértice del gráfico encontrando primero el eje de simetría (AOS) con la ecuación x = -b / 2a . En este caso, el AOS es x = 2 . Para encontrar el valor y del vértice debemos sustituir x = 2 en la ecuación original. Entonces, f (2) = 2 2 – 4 (2) – 12 = -16 , que es nuestro valor y . El vértice es (2, -16). Nuestro gráfico debería verse así:

Grados pares e impares

Una función cuadrática siempre tendrá la forma de una parábola, pero ¿qué pasa si tenemos una función polinomial con un grado mayor que 2? En estos casos, utilizaremos algunos hechos importantes para predecir la forma del gráfico.

Grado PAR : Si una función polinomial tiene un grado par (es decir, el exponente más alto es 2, 4, 6, etc.), entonces la gráfica tendrá dos brazos, ambos en la misma dirección . Nuestros dos ejemplos hasta ahora siguieron esta regla. Sabemos que el signo del coeficiente principal o un valor nos dice en qué dirección apuntarán los brazos.

Grado IMPAR : Si una función polinomial tiene un grado impar mayor que 1 (es decir, el exponente más alto es 3, 5, 7, etc.), entonces la gráfica tendrá dos brazos en direcciones opuestas . En estos casos, si a> 0, la gráfica aumentará a medida que se acerque al infinito positivo. Si a <0, la gráfica disminuirá a medida que se acerque al infinito positivo.

A continuación se muestran algunas imágenes:

INCLUSO Grado

Grado impar

También es útil saber que una función con grado n solo puede tener como máximo (n-1) puntos de inflexión. Por ejemplo, y = x 3 puede tener como máximo dos puntos de inflexión.

Ejemplo 2

Para polinomios con grados mayores resolveremos para muchos ceros y, a veces, el mismo cero aparecerá más de una vez. A esto se le llama multiplicidad .

Supongamos que se nos da la función

Si primero probamos para ver si x = -1 o x = 1 son soluciones a la ecuación, vemos que x = 1 es, de hecho, una solución. Esto significa que necesitamos usar la división larga para dividir el polinomio por el factor (x -1) (ya que ahora sabemos que debe estar ahí). Después de realizar una división larga obtenemos

y puede además factorizar eso para

Entonces, esta función muestra que la solución x = -4 tiene una multiplicidad de 1 y la solución x = 1 tiene una multiplicidad de 2, ya que aparece dos veces. Esto nos permite hacer una predicción importante.

Regla:

Dado que un polinomio tiene x = s como solución con multiplicidad m :

• Si m es impar, entonces x = s cruzará el eje x.
• Si m es par, entonces x = s solo tocará el eje x, pero no lo cruzará.

Entonces, para el Ejemplo 2, el gráfico tocará y rebotará fuera del eje x en (-4, 0) pero cruzará el eje x en (1, 0).

Cómo usar ceros para graficar una función polinomial

1. Encuentra ceros y multiplicidad. Además, predice si el gráfico se cruzará o simplemente tocará el eje x en esos puntos.
2. Encuentra la intersección con el eje y, que se encuentra estableciendo x = 0 y resolviendo para y .
3. Utilice el grado y el coeficiente principal para predecir la forma y el comportamiento final del gráfico a medida que se aproxima al infinito negativo y al infinito positivo.
4. Pruebe los puntos y grafíquelos.
5. ¡Sonríe a tu hermosa gráfica!

Usemos el ejemplo 2.

1. Ya realizamos el paso 1 anterior y encontramos esa función

Esta función tiene la solución x = -4 con una multiplicidad de 1 y x = 1 con una multiplicidad de 2. Ahora podemos predecir que la gráfica tocará y rebotará fuera del eje x en (-4, 0) pero lo hará cruce el eje x en (1, 0).

2. Establezca x = 0 y resuelva para obtener y = 4 , por lo que la intersección con el eje y es (0, 4).

3. El grado de esta función es 3. Como es extraño, los brazos apuntarán en direcciones opuestas. Dado que a> 0, la gráfica aumentará a medida que se acerque al infinito positivo.

4. Cuantos más puntos pruebe, mejor, pero asegúrese de elegir a cada lado de las intersecciones x. Por ejemplo, elija probar x = -5 , x = -1 y x = 2 . Cuando se resuelve, los puntos de la trama son (-5, -106), (-1, 8) y (2, 2). Trace esos puntos.

5. Sonríe, ¡ya terminaste!

¡Ahora tienes un gráfico bastante atractivo!

Resumen de la lección

Las funciones polinomiales pueden tener cero, una o muchas soluciones. Si la función tiene una o más soluciones, aparecerán como intersecciones con el eje x en la gráfica. Podemos usar nuestro conocimiento de factorización para factorizar una función y luego encontrar sus ceros y graficar esos puntos en el eje x. También hemos aprendido que el grado de un polinomio nos dice si los brazos de la gráfica están enfrentados en la misma dirección o en direcciones opuestas y el coeficiente principal nos informa sobre el comportamiento final. También encontramos la intersección con el eje y y probamos algunos puntos para hacer que nuestra gráfica sea aún más precisa. La acumulación de todos estos procesos y predicciones le permite esbozar un gráfico bastante preciso. ¡Bien hecho!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador