Resolver con la fórmula cuadrática
 |
Acabas de pasar el nivel uno de Furious Fowls , el juego que te pide que lances pájaros por la pantalla para vengarte de esos molestos cerdos que te robaron los huevos. Aprendiste que podíamos averiguar dónde chocaría nuestro pájaro con el suelo resolviendo la ecuación cuadrática dada donde es igual a 0. Eso nos requería factorizar la ecuación y luego usar la propiedad del producto cero para determinar qué dos valores nos darían 0.
¡Pero ahora estamos en el nivel dos! Se pondrá más difícil, pero tu objetivo seguirá siendo el mismo: usa la ecuación que se te da en la pantalla para asegurarte de que tu pájaro alcance su objetivo en el primer intento. Muy bien, aquí vamos; Sigamos adelante y adivinemos dónde necesitaremos lanzar nuestro pájaro esta vez. Creo que esto parece correcto. Ahora, revisemos nuestra ecuación para ver si esto realmente funcionará o no.
El juego nos dice que nuestro pájaro volará en una parábola dada por la ecuación y = – x 2 + 4 x + 7. Dado que nuevamente estamos disparando a un cerdo en el suelo, tenemos curiosidad por saber dónde esta ecuación es igual a 0, así que sigamos adelante y sustituyamos eso. Bien, ahora tenemos que intentar factorizar para encontrar x . Dividamos lo negativo, dejándonos con esto: 0 = – ( x 2 – 4 x – 7). Ahora busque un par de números que tengan un producto de -7 y una suma de -4. Hmmm, esto no se ve bien. No creo que este trinomio pueda factorizarse. ¿Y ahora qué? En el nivel uno esto funcionó todo el tiempo, ¡así que nunca tuvimos que hacer nada más! Parece que vamos a tener que aprender algunas habilidades nuevas.
La fórmula cuadrática
Situaciones como esta, en las que estamos tratando de resolver una cuadrática que no se puede factorizar, ¡es para lo que se hizo la fórmula cuadrática ! Es un poco largo y complicado, pero si puedes recordarlo, ¡podrás resolver cualquier ecuación cuadrática!
 |
La forma estándar
Primero tendrás que recordar la forma estándar de una ecuación cuadrática, y = ax 2 + bx + c . Esto le dirá lo que su a , b y c valores son, pero luego se convierte simplemente en una cuestión de poner los números en los lugares correctos. Veamos si podemos hacer esto con éxito para pasar el segundo nivel de Furious Fowls .
¿Qué es la Ecuación de Estado de los Gases Reales?
Identificación de A, B y C
Volviendo a la ecuación original y la identificación de un , b y c deben ser nuestro primer paso. A está delante de x 2 , donde solo hay un símbolo negativo. Eso significa que a es solo -1. B es el número delante de x s, lo que lo convierte en 4, y c es la constante al final, 7.
Usando la fórmula cuadrática
Ahora, podemos sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y evaluar la expresión resultante para encontrar nuestras respuestas. Si bien esto es teóricamente bastante sencillo, hay bastantes lugares que pueden hacer que se tropiece fácilmente. Debido a que esta es nuestra primera vez, evaluemos esto paso a paso juntos y repasemos algunos de los errores comunes. Tendremos que recordar nuestro orden de operaciones y asegurarnos de realizar un seguimiento de todos nuestros signos negativos.
Para este problema, entonces, lo primero de lo que tendremos que ocuparnos es del exponente que vemos. El exponente que veo es un 2, lo que significa un cuadrado, lo que significa multiplicar ese número por sí mismo, así que hacemos 4 * 4 para obtener 16. Lo siguiente en el orden de operaciones vendrá la multiplicación. Hacer la multiplicación en el interior de la raíz cuadrada (4 * -1 * 7) nos da -28, luego hacer la multiplicación en la parte inferior de la fracción (2 * -1) es simplemente -2. Ahora nos queda x = (-4 +/- √ (16 – (-28))) / -2, y nos centraremos en el interior de la raíz cuadrada en la parte superior de la fracción.
El interior de la raíz cuadrada en la fórmula es b 2 – 4 ac . Esta parte es una de las más difíciles de evaluar y una de las más fáciles de cometer un error. También tiene un nombre especial; se llama discriminante . Tiene algunas características importantes de las que hablaremos en otras lecciones, pero para esta lección, solo debe saber tener cuidado al evaluarlo, específicamente por la razón que voy a mencionar. Observe que terminamos con un -28 después de hacer la multiplicación, pero todavía tengo 16 – -28. Menos un negativo es más un positivo, por lo que 16 + 28 nos da 44.
 |
Ahora que tenemos la raíz cuadrada de 44, nos gustaría comprobar si podemos sacar bien la raíz cuadrada de 44. ¿Hay un número que, multiplicado por sí mismo, nos dé 44? Bueno, 7 * 7 es 49, que está bastante cerca, pero no del todo, y 6 * 6 es 36, así que de nuevo, no del todo. Entonces, la raíz cuadrada de 44 es un número irracional ; va a ser un decimal muy largo. Eso significa que lo que tenemos es en realidad una respuesta bastante buena, pero hay dos errores que los estudiantes tienden a cometer sin darse cuenta de que es una buena respuesta. Uno de esos errores es dividir -4 por -2 para obtener 2 +/- la raíz cuadrada de 44. Esto no está permitido porque la raíz + 44 se interpone en tu camino al hacer esa división.
Principio de Arquímedes: historia, fórmula y ejemplos
Otro error es dividir -4 y 44 por -2 para darnos (-4 / -2) +/- (raíz cuadrada de 44 / -2). El problema con esto es que dividir dentro de una raíz cuadrada como esa realmente no está permitido. Eso significa que lo que tenemos aquí ( x= -4 + / – la raíz cuadrada de 44 / -2) es en realidad la respuesta más matemáticamente correcta. Pero como estamos estimando, cambiémoslo a decimal redondeando las respuestas. La raíz cuadrada de 44 está entre 6 y 7; en realidad, se trata de 6.633. Eso significa que encontraremos nuestras dos respuestas haciendo -4 + 6.633 / -2 y también -4 – 6.633 / -2. Hacer eso nos da nuestras dos respuestas estimadas como -1,316 o 5,316. Nuestra respuesta -1,316 es lo que sucedería si se rompiera la honda, por lo que no estamos demasiado preocupados por eso. Pero en 5.316 parece que estamos bastante cerca de nuestro objetivo, pero quizás un poco cortos.
Tal vez si nivelamos nuestro tiro un poco, nuestro pájaro podría volar un poco más lejos. ¿Quizás así? Bien, aparentemente ahora nuestra ecuación es y = -3 x 2 + 15 x + 29, pero nuevamente queremos saber cuándo el pájaro chocará contra el suelo o cuáles son las raíces de la ecuación. Eso significa que sustituimos en y = 0 y comenzamos a pensar de qué manera queremos resolver. Podríamos probar el método de factorización aquí, pero esos números parecen bastante desordenados, y también hay una buena posibilidad de que no funcione de todos modos, así que vayamos directamente a la fórmula cuadrática.
Esto significa identificar un , b y c de nuestra forma cuadrática estándar. Eso hace que un igual a -3, b igual a 15 y c igual a 29. Ahora es sólo una cuestión de sustituir cuidadosamente estos valores en la fórmula cuadrática y luego siguiendo el orden de las operaciones para llegar a nuestros dos respuestas. La sustitución de los números en se verá así: x = -15 +/- (la raíz cuadrada de 15 2 – 4 (-3) (29)) / 2 (-3).
Usando un valor B negativo
 |
Otro error común que veo que los estudiantes cometen es estropear el valor b en la parte delantera izquierda de la fracción. En la fórmula, es a – b , por lo que en este caso 15 se convierte en -15. Pero muchas veces su valor b será negativo. Cuando tienes a – b y lo insertas en la fórmula, – – b lo volverá positivo nuevamente, así que debes tener cuidado con esa b al frente.
De todos modos, pasando a evaluar, podemos comenzar con el exponente en el interior, la parte b 2 del discriminante, y 15 2 nos da 225. Luego, hacemos 4 * -3 * 29 para obtener -348, y lo hacemos 2 * -3 para obtener -6 en la parte inferior. Nuevamente, cambiar un menos negativo en más un positivo hará que nuestro discriminante sea igual a 573. La raíz cuadrada de 573 es aproximadamente 23,937. Hacer -15 más esto y dividir por -6 nos dará -1.489, y hacer -15 menos esto dividido por -6 nos dará 6.489.
Alquinos: Fórmula, propiedades y ejemplos
Podemos volver a centrarnos en la respuesta positiva a pesar de que la negativa es una solución matemática válida, ¡y parece que esta va a funcionar! Me siento bastante confiado; dejemos volar nuestras furiosas aves … y ¡oye! ¡Lo conseguimos! Ahora has pasado el nivel dos de Furious Fowls y eres bastante bueno resolviendo cuadráticas, pero ¿estás listo para el nivel tres?
Resumen de la lección
Repasemos rápidamente lo que aprendimos del nivel dos. No todas las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar, por lo que necesitamos otra forma de resolverlas. Ingrese la fórmula cuadrática . Usando un , b y c de la forma cuadrática estándar, sustituimos estos valores en la fórmula y luego usar el orden de operaciones para terminar con nuestros dos respuestas.
Objetivos de la lección
Una vez que termine esta lección, podrá:
- Determinar si una ecuación cuadrática es factorizable o no
- Usa la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
