Fórmula de distancia entre dos puntos y ejemplos

Distancia entre dos puntos

Si se dan dos puntos, ¿es posible encontrar la distancia entre ellos? La respuesta es sí. En primer lugar, la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de línea que los conecta (aunque no se indicará necesariamente ningún segmento de línea). La distancia siempre se puede calcular entre dos puntos arbitrarios en un plano de coordenadas.

La notación para puntos de coordenadas implica el uso de una coordenada x y una coordenada y . Dado que el plano de coordenadas tiene dos direcciones principales ( x y Y ), se necesitan dos coordenadas para determinar un punto distinto. En este caso, el punto se denota por {eq} (x, y) {/eq}.

En esta lección, la notación de pares de coordenadas de {eq} (x, y) {/eq} será el método utilizado para determinar un punto en el espacio de coordenadas.

Fórmula de distancia entre dos puntos

Ahora, aquí hay una derivación de la fórmula de la distancia para dos puntos arbitrarios en el espacio de coordenadas x – y :

Prueba:

Considere dos puntos en el espacio de coordenadas: {eq} A = (x_ {1}, y_ {1}) {/eq} y {eq} B = (x_ {2}, y_ {2}) {/eq}. Dibuja un triángulo rectángulo usando A y B como dos vértices:

Dado que este es un triángulo rectángulo que está formado por los puntos A y B , se aplica el teorema de Pitágoras:

• La distancia horizontal entre A y B viene dada por {eq} (x_ {2} -x_ {1}) {/eq}. Esta es la longitud del cateto horizontal del triángulo rectángulo.
• La distancia vertical entre A y B viene dada por {eq} (y_ {2} -y_ {1}) {/eq}. Esta es la longitud del cateto vertical del triángulo rectángulo.

• Sea d la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo. Esta es también la distancia entre los dos puntos A y B .
• La aplicación del teorema de Pitágoras nos da {eq} d ^ 2 = (x_ {2} -x {1}) ^ 2+ (y_ {2} -y_ {1}) ^ 2 {/eq}.
• Finalmente, resolver para d tomando la raíz cuadrada de ambos lados da la longitud de la hipotenusa y la distancia entre A y B : {eq} d = \ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ 2+ ( y_ {2} -y_ {1}) ^ 2} {/eq}.

Por lo tanto, la fórmula de la distancia para dos puntos arbitrarios {eq} (x_ {1}, y_ {1}) {/eq} y {eq} (x_ {2}, y_ {2}) {/eq} es {eq} d = \ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ 2+ (y_ {2} -y_ {1}) ^ 2} {/eq}.

Además, el orden de la resta en la fórmula de la distancia no importa.

Aquí hay un desglose de cómo los procesos descritos en la prueba anterior afectan las coordenadas:

1. La diferencia entre el X y Y coordenadas se debe encontrar, ya que dan las distancias horizontales y verticales de una a B .
2. Elevar al cuadrado estos valores proviene del uso del teorema de Pitágoras, donde las longitudes de los catetos del triángulo deben elevarse al cuadrado.
3. Sumar los cuadrados de estos valores es igual a la longitud de la hipotenusa al cuadrado (la distancia entre A y B al cuadrado).
4. Finalmente, despejando la longitud de la hipotenusa se obtiene la fórmula de la distancia.

Distancia entre dos puntos en un gráfico

En un gráfico, la distancia entre dos puntos se calcula midiendo la longitud del segmento de línea que conecta los dos puntos (aunque es posible que el segmento de línea no exista). La distancia entre dos objetos generalmente se toma como un número no negativo que tiene las siguientes propiedades:

• La distancia siempre es mayor o igual a cero.
• La distancia entre los objetos A y B es la misma que la distancia entre B y A .
• La distancia de A a B es menor que la distancia de A a C más la distancia de C a B si C es otro objeto.

La fórmula de la distancia satisface estas propiedades abstractas.

Además, esta idea de distancia se puede generalizar a muchos tipos diferentes de espacios siempre que la ecuación de distancia (o métrica) satisfaga las propiedades abstractas enumeradas anteriormente. A partir de esto, es obvio que las distancias se pueden calcular en una dimensión y tres dimensiones (y en dos dimensiones como se describió anteriormente). Aquí hay un ejemplo del mundo real:

• Piense en un corredor de béisbol. Si se considera que el plato de origen es el «origen» o {eq} (0, 0) {/eq}, en este espacio, las bases restantes caen en puntos distintos en el espacio. Si el corredor llega a la segunda base, ¿es posible encontrar la distancia a la que está de casa? La respuesta es sí. Si la línea desde el plato de home a la primera base se encuentra en el eje x de este espacio y la línea desde el plato de home a la tercera base se encuentra en el eje yeje-, entonces la segunda base se encuentra en algún lugar del primer cuadrante. Para encontrar la distancia desde el plato de home a la segunda base, simplemente mire el triángulo creado por el plato de home, la primera base y la segunda base. Luego, usa la fórmula de la distancia para calcular la distancia. Esto demuestra que las situaciones del mundo real se pueden representar mediante diferentes tipos de espacios, como gráficos bidimensionales.

Cómo calcular la distancia entre dos puntos

En la práctica, ¿cómo calcula alguien la distancia entre dos puntos? Aquí hay un ejemplo paso a paso de cómo encontrar la distancia entre dos puntos dados:

• Considere dos puntos en el plano de coordenadas x – y : {eq} (2, 3) {/eq} y {eq} (7, 8) {/eq}. Estos son claramente dos puntos distintos en el plano x – y , por lo que tienen una distancia distinta de cero entre ellos.
• El siguiente paso es identificar las partes {eq} x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2} {/eq} de cada coordenada. La asociación es: {eq} (x_ {1}, y_ {1}) = (2, 3) {/eq} y {eq} (x_ {2}, y_ {2}) = (7, 8) { / eq}.
• A continuación, calcule los cambios horizontales y verticales entre las dos coordenadas: {eq} x_ {2} -x_ {1} = 7-2 = 5 {/eq} y {eq} y_ {2} -y_ {1} = 8- 3 = 5 {/eq}.
• Luego, inserte estos valores en la fórmula de la distancia: {eq} d = \ sqrt {(7-2) ^ 2 + (8-3) ^ 2} = \ sqrt {5 ^ 2 + 5 ^ 2} {/eq} .
• Luego, simplifique la ecuación para encontrar d : {eq} d = \ sqrt {25 + 25} = \ sqrt {50} {/eq}.
• Finalmente, simplifique la expresión radical: {eq} d = \ sqrt {50} = \ sqrt {2 \ cdot 25} = 5 \ sqrt {2} {/eq}.

Este procedimiento funcionará para cualquier par de puntos en el plano de coordenadas. Los pasos que se muestran son los procesos habituales que se utilizan para determinar la distancia entre dos puntos, pero los problemas a veces pueden variar. Por ejemplo, a veces los puntos se encuentran en la misma línea vertical u horizontal, por lo que su distancia horizontal o vertical será cero. A continuación, se muestran algunos ejemplos de esos casos:

• Considere dos puntos: {eq} (1, 3) {/eq} y {eq} (1, 5) {/eq}. La fórmula de la distancia para estos dos puntos da: {eq} d = \ sqrt {(1-1) ^ 2 + (5-3) ^ 2} = \ sqrt {0 + 2 ^ 2} = \ sqrt {4} = 2 {/eq}. Observe que, dado que estos dos puntos se encuentran en la misma línea vertical, la distancia horizontal entre los dos puntos es cero. Además, en un gráfico, la distancia se puede calcular fácilmente, ya que estos dos puntos se encuentran en la misma línea vertical.

• Considere dos puntos: {eq} (- 3, 1) {/eq} y {eq} (4, 1) {/eq}. La fórmula de la distancia para estos dos puntos produce: {eq} d = \ sqrt {(4 – (- 3)) ^ 2+ (1-1) ^ 2} = \ sqrt {7 ^ 2 + 0} = \ sqrt {49} = 7 {/eq}. Observe que, dado que estos dos puntos se encuentran en la misma línea horizontal, la distancia vertical entre los dos puntos es cero. Además, como en el ejemplo anterior, la distancia se puede encontrar fácilmente en un gráfico porque ambos puntos se encuentran en una línea horizontal compartida.

Ejemplos de cómo hallar la distancia entre dos puntos

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo calcular la distancia entre dos puntos. Además, los ejemplos utilizan un punto como punto de referencia (generalmente el origen) para simplificar los cálculos.

Ejemplo de distancia 1

Piense en una familia que va al supermercado. Desde su casa, hay dos caminos para llegar a la tienda. Un camino los lleva 2 millas al este de su casa y luego 6 millas al sur para llegar a la tienda. El otro es un camino directo desde su casa hasta la tienda. ¿Cuál es la distancia por cada camino? ¿Qué camino sería el más rápido?

Solución:

El camino este-sur recorre un total de 8 millas (2 millas al este y luego 6 millas al sur).

Para el camino recto, sea la casa de la familia el origen (0, 0). Entonces, la tienda de comestibles estaría en el punto {eq} (2, -6) {/eq} (dos millas al este en la dirección x positiva y 6 millas al sur en la dirección y negativa ).

Luego, la fórmula de la distancia da la distancia de la casa al supermercado de la siguiente manera:

{eq} d = \ sqrt {(2-0) ^ 2 + (- 6-0) ^ 2} = \ sqrt {2 ^ 2 + (- 6) ^ 2} = \ sqrt {4 + 36} = \ sqrt {40} = 2 \ sqrt {10} \ approx 6.325 {/eq}

Entonces, el camino recto es de aproximadamente 6.325 millas.

Por lo tanto, el camino recto desde su casa hasta la tienda sería la ruta más corta y rápida.

Ejemplo de distancia 2

Mira el ejemplo del béisbol. El diamante de béisbol estándar tiene distancias de cada plato de 90 pies. ¿Cuál es la distancia desde el plato de home a la segunda base? ¿Cuál es la distancia de la primera base a la tercera base?

Solución:

Aquí hay una imagen para ayudar:

La distancia entre cada placa es de 90 pies, pero la distancia diagonal es lo que se debe encontrar. En primer lugar, deje que el plato de home sea el origen (0, 0). Entonces, las siguientes bases restantes tendrían asociados los siguientes puntos de coordenadas:

• Primera base: {eq} (90, 0) {/eq}.
• Segunda base: {eq} (90, 90) {/eq}.
• Tercera base: {eq} (0, 90) {/eq}.

Ahora, primero calcule la distancia desde el plato de home a la segunda base usando las coordenadas enumeradas arriba:

• {eq} d_ {HS} = \ sqrt {(90-0) ^ 2 + (90-0) ^ 2} = \ sqrt {90 ^ 2 + 90 ^ 2} = \ sqrt {8100 + 8100} = \ sqrt {16200} {/eq}. En este caso, la distancia desde el hogar al segundo (HS) es {eq} d_ {HS} = 127.279 {/eq} pies.
• {eq} d_ {FT} = \ sqrt {(0-90) ^ 2 + (90-0) ^ 2} = \ sqrt {(- 90) ^ 2 + (90) ^ 2} = \ sqrt {8100+ 8100} = \ sqrt {16200} {/eq}. Para este caso, la distancia del primero al tercero (FT) es {eq} d_ {FT} = 127.279 {/eq} pies.

Observe que, en este ejemplo, las distancias diagonales desde el home hasta la segunda base y desde la primera base hasta la tercera base son las mismas. Esto se debe a que el diamante de béisbol es un cuadrado, por lo que sus lados son todos iguales. Por lo tanto, las dos diagonales del cuadrado deben tener la misma longitud.

Resumen de la lección

En esta lección, se derivó, definió y exploró la fórmula de la distancia para dos puntos. La distancia entre dos puntos en el plano x – y , {eq} (x_ {1}, y_ {1}) {/eq} y {eq} (x_ {2}, y_ {2}) {/eq} es dado por {eq} d = \ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ 2+ (y_ {2} -y_ {1}) ^ 2} {/eq}. Esta fórmula para la distancia entre dos puntos también funcionará para otros tipos de espacios, como en una línea unidimensional o en un espacio tridimensional. Sin embargo, la fórmula cambiará ligeramente según el espacio en el que esté operando.

También hay varios axiomas que surgen cuando se trabaja con una fórmula de distancia como la de esta lección:

• La fórmula de la distancia siempre debe producir valores mayores o iguales a cero.
• La distancia entre dos puntos A y B es igual a la distancia entre B y A .
• La distancia de A a B es menor o igual a la distancia de A a C más la distancia de C a B si C es otro punto.

Recuerda que la distancia entre dos puntos corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, donde los catetos del triángulo están formados por la diferencia horizontal y la diferencia vertical entre los puntos. Por esta razón, la fórmula de la distancia se puede derivar utilizando el teorema de Pitágoras.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador