Gráficas Lineales Positivas y Negativas: Funciones y ejemplos

Función creciente o decreciente: descripción general

Graficar una función facilita ver cómo se comporta. Ver cómo se comporta una función es una buena manera de determinar qué está haciendo la función. En matemáticas, algunas funciones aumentan con el tiempo mientras que otras disminuyen con el tiempo. Otros permanecen constantes o forman una onda que sube y baja con el tiempo. Esta lección se centra en funciones que aumentan o disminuyen con el tiempo. Cuando una función aumenta con el tiempo, se llama función creciente. Cuando una función disminuye con el tiempo, se llama función decreciente.

¿Hay alguna manera de determinar si una función es creciente o decreciente? Sí hay. Una forma sencilla de hacer esto para funciones lineales es observar la pendiente. La pendiente indica la pendiente de la función y si sube o baja. La pendiente se puede comparar con lo empinada que es una ladera. Una pendiente positiva significa que es el lado de la colina el que sube. Una pendiente negativa significa que es el lado de la colina el que desciende. Entonces, una pendiente positiva significa que la función está aumentando, mientras que una pendiente negativa significa que la función está disminuyendo.

Las funciones crecientes tienen valores de y que aumentan a medida que aumentan los valores de x, mientras que las funciones decrecientes tienen valores de y que disminuyen mientras los valores de x aumentan. Recuerde, las funciones lineales son funciones en las que la variable no tiene exponente escrito en la ecuación, lo que significa que tiene un exponente de 1 por defecto. Las funciones lineales siempre se pueden escribir en la forma y = m x + b.

Gráfico lineal positivo: función creciente

Al igual que la ladera de una colina que sube, una gráfica lineal creciente sube de izquierda a derecha.

He aquí un ejemplo:

Observe cómo la línea sube a medida que el gráfico se mueve de izquierda a derecha. Esto indica que los valores de y aumentan a medida que aumentan los valores de x. Matemáticamente, esto se puede demostrar seleccionando dos valores de x en el gráfico y verificando los valores de y correspondientes en esos puntos. Si los valores de y aumentan, entonces la función es una función creciente.

Repasemos un ejemplo. Para comprobar la función anterior y ver si está aumentando, se eligen dos valores de x para su evaluación: x = 0 y x = 1. En x = 0, el valor de y es 0. En x = 1, el valor de y es 1. El valor de y aumenta a medida que aumenta el valor de x; por lo tanto, la función aumenta. Para comprobar este resultado, se pueden elegir otros dos puntos para su evaluación.

Otro método para confirmar una función creciente es calcular la pendiente para comprobar si es positiva. La pendiente de nuestra función de ejemplo, por ejemplo, se calcula en 1/1. En otras palabras, 1. Esto significa que el valor de y aumenta en 1 a medida que x aumenta en 1, es decir, 1/1 = 1. Esta pendiente es positiva y, como tal, la función está aumentando.

Sin embargo, una gráfica lineal positiva no es lo mismo que una función creciente. Una gráfica lineal positiva es una gráfica donde todos los valores de y son positivos. La siguiente imagen contiene un ejemplo de un gráfico lineal positivo:

Aunque esta función no aumenta, sigue siendo una gráfica lineal positiva porque todos sus valores de y son positivos. Podemos volver a verificar algunos puntos para confirmar esto. En x = 0, el valor de y es 4, un valor positivo. En x = 4, el valor de y es 2, otro valor positivo. En x = 2, el valor de y es 3, positivo también. Siempre que los valores de y sean positivos, la gráfica en esta área se llama gráfica lineal positiva.

Gráfica decreciente: función lineal negativa

Si la gráfica desciende a medida que se mueve de izquierda a derecha, entonces la gráfica representa una función decreciente. Esto es comparable a la ladera de una colina que desciende.

A continuación se muestra un ejemplo de una gráfica decreciente:

Moviéndose de izquierda a derecha, este gráfico se dirige hacia abajo (como si bajara por la ladera de una colina). Para confirmar si los valores de y disminuyen a medida que aumenta x, evalúe algunos puntos de la siguiente manera:

Debido a que los valores de y disminuyen a medida que x aumenta, se dice que la función es decreciente.

Tenga en cuenta que una función decreciente también tiene pendiente negativa. Elija dos puntos para realizar el cálculo: (0, 0) y (1, -1), por ejemplo. Calcula la pendiente para encontrar lo siguiente:

{eq}m = \frac{(-1 – 0)}{(1 – 0)} \\ m = \frac{-1}{1} \\ m = -1 {/eq}

La pendiente sale negativa, lo que confirma que la función es decreciente.

Una función decreciente es diferente de una función lineal negativa. Una función lineal negativa es una función cuyos valores de y son negativos. El siguiente gráfico muestra un ejemplo de una función lineal negativa:

En x = 0, el valor de y es -3, y en x = 1, el valor de y es -2. Aunque esta gráfica aumenta, sigue siendo una función lineal negativa porque sus valores de y son negativos.

Cómo saber si una gráfica es positiva o negativa

Las funciones pueden tener regiones tanto positivas como negativas. Por ejemplo, la siguiente función es negativa cuando x está por debajo de 0 y positiva cuando x está por encima de 0.

Aunque esta gráfica aumenta de izquierda a derecha, los valores de y son negativos cuando los valores de x son negativos. Como tal, se dice que esta región del gráfico es negativa. Sin embargo, los valores de y se vuelven positivos cuando los valores de x son positivos, por lo que se dice que esta área de la gráfica es positiva. Matemáticamente esto se expresa de la siguiente manera:

{eq}Negativo: x<0 \\ Positivo: x\geq 0 {/eq}

Para funciones lineales, no importa qué región incluye el 0. Sin embargo, cuando la función es por partes o tiene irregularidades, entonces importaría qué región incluye el 0. Sin embargo, en una función continua, la región que incluye específicamente el 0 sí No importa siempre que una de las regiones lo incluya.

Tenga en cuenta que los gráficos se pueden dividir en tantas regiones como sea necesario. Cuando los valores de y son negativos, la región es negativa. Cuando los valores de y son positivos, la región es positiva. El ejemplo anterior tiene una región negativa y una región positiva, para un total de dos regiones.

Esta función sinusoidal, por otra parte, tiene muchas regiones positivas y negativas:

{eq}y = sen x {/eq}

Siguiendo este gráfico, las regiones positivas y negativas siguen alternándose. Para los valores de x de -3,14 a 0, la región es negativa. Para los valores de x de 0 a 3,14, la región es positiva. Luego, para los valores de x de 3,14 a 6,28, la región vuelve a ser negativa. Esta función sigue repitiendo estas regiones positivas y negativas a intervalos iguales.

Función creciente o decreciente: ejemplos resueltos

A menos que la función sea lineal, las gráficas también tendrán regiones crecientes y decrecientes. Para ver un ejemplo de esto, consulte el gráfico siguiente.

{eq}y = x^2 {/eq}

Sigue la gráfica y baja hasta x = 0. Después de eso, la gráfica comienza a subir nuevamente. Como tal, esta gráfica tiene una región decreciente para valores de x negativos y una región creciente para valores de x positivos.

Como lo han demostrado ejemplos anteriores, que una región esté aumentando o disminuyendo no significa necesariamente que la misma región sea positiva o negativa. Estas son descripciones completamente separadas. La gráfica anterior, por ejemplo, tiene solo una región positiva, porque los valores de y son positivos para toda la función. Esto es independientemente de sus regiones en aumento o decrecientes.

Veamos algunos problemas de ejemplo.

1. ¿En qué región está aumentando la siguiente gráfica?

{eq}y = \frac{(x-2)^2}{4} – 4 {/eq}

Antes de seguir leyendo para encontrar la respuesta y la explicación, intenta resolver el problema primero.

Respuesta: la gráfica aumenta cuando x>2

Explicación: recuerde, una región creciente es donde el gráfico sube (como si subiera una colina) cuando se mueve de izquierda a derecha. Al observar la gráfica, la gráfica va hacia arriba a partir de x = 2, por lo que la región creciente es cuando x>2.

2. ¿En qué áreas la gráfica es positiva?

{eq}y = \frac{(x-2)^2}{4} – 4 {/eq}

Intente resolver el problema antes de seguir leyendo.

Respuesta: {eq}Positivo: -2 > x > 6 {/eq}

Explicación: este es el mismo gráfico que en el ejemplo anterior, pero recuerde, una región positiva es diferente a una región creciente. Una región positiva es aquella en la que los valores de y son positivos.

Mirando el gráfico, los valores de y son positivos cuando x es menor que -2 y mayor que 6. Esto se puede expresar de dos maneras. Se puede escribir así:

{eq}Positivo: x<-2 ~ y ~ x>6 {/eq}

O se puede escribir así:

{eq}Positivo: -2 > x > 6 {/eq}

El enunciado de desigualdad combinada debe leerse con atención. El hecho de que x esté en el medio no significa que los valores de x estén entre -2 y 6. Los signos de desigualdad muestran que x es menor que -2 y mayor que 6.

3. En la siguiente tabla, ¿la función lineal aumenta o disminuye?

Intente responder la pregunta antes de seguir leyendo.

Respuesta: decreciente

Explicación: siguiendo la tabla, parece que los valores de y disminuyen a medida que aumentan los valores de x. A medida que aumentan los valores de x, la gráfica se mueve de izquierda a derecha. Dado que los valores de y son decrecientes, significa que la función es decreciente.

El problema menciona que la función es lineal, por lo que la pendiente será constante en toda la función. Calculando la pendiente usando los puntos (0, 10) y (1, 8), se obtiene lo siguiente:

{eq}m = \frac{(10 – 8)}{(0 – 1)} \\ m = \frac{2}{-1} \\ m = -2 {/eq}

La pendiente es negativa, lo que confirma que la función es decreciente.

4. Una determinada función tiene los siguientes puntos de datos en una región particular. ¿Esta región es positiva o negativa?

Intenta responder antes de seguir leyendo.

Respuesta: Negativa

Explicación: recuerde, una región positiva tiene todos los valores de y positivos y una región negativa tiene todos los valores de y negativos. Los valores de y en esta región son todos negativos, lo que significa que esta región es negativa.

Resumen de la lección

Cuando una función aumenta con el tiempo, se llama función creciente. Cuando una función disminuye con el tiempo, se llama función decreciente. Las funciones crecientes tienen valores de y que aumentan a medida que aumenta x. Las funciones decrecientes tienen valores de y que disminuyen a medida que x aumenta. Para funciones lineales, una función creciente es aquella cuya pendiente es positiva. Mientras tanto, una función lineal decreciente tiene pendiente negativa.

Las regiones positivas de un gráfico se producen cuando los valores de y son positivos. Las regiones negativas de un gráfico se producen cuando los valores de y son negativos. Recuerde, las regiones positivas y negativas no están relacionadas de ninguna manera con el hecho de que la función aumente o disminuya en la misma región. Las funciones pueden tener muchas regiones positivas y negativas. No hay límite para la cantidad de regiones positivas y negativas que puede tener una función.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador