Números complejos en forma polar: proceso y ejemplos

Números complejos

Así como usamos nuestra imaginación cuando soñamos despiertos, también usamos cosas imaginarias en matemáticas cuando hablamos de números complejos . Estos son nuestros números matemáticos con una parte real e imaginaria. Están escritos en la forma a + bi donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Al igual que un sueño despierto puede desarrollarse como un programa de televisión, nuestros números complejos se grafican como nuestros puntos regulares ( x, y ) en el plano cartesiano. La única diferencia es que en lugar de un punto ( x, y ), ahora tenemos un punto ( a, b ). Nuestro eje x es ahora nuestro eje real y nuestro eje yEl eje es ahora nuestro eje imaginario. Pero todo lo demás sigue igual. ¿Cuáles son algunos ejemplos de números complejos? Podemos tener 1 + 2i, 3 – 4i o incluso -2 + 7i. Al convertirlos en puntos de coordenadas, tenemos (1, 2), (3, -4) y (-2, 7).

Conversión de forma polar

Esta lección en video trata sobre convertir nuestro número complejo en forma polar, así que hablemos de eso ahora. Recuerde que en forma polar, en lugar de un eje real y un eje imaginario o un x eje x y y eje x, que ahora etiquetan los mismos puntos con un radio y un ángulo que nos dice qué tan lejos en una dirección hacia la izquierda vamos a partir de la eje x positivo o eje real positivo. La conversión de nuestro número complejo en forma polar es sorprendentemente similar a convertir un punto rectangular ( x, y ) en forma polar. Las fórmulas son idénticas en realidad y también lo es el proceso. Es sólo que en lugar de X y Y , ahora tenemos una y b. Nuestras fórmulas son las siguientes:

Cuando usamos estas fórmulas, convertimos un número complejo, a + bi , en su forma polar de z = r (cos (theta) + i * sin (theta)) donde a = r * cos (theta) y b = r * pecado (theta) . Tenga cuidado al calcular el ángulo. Mire primero en qué cuadrante están las gráficas de números complejos. Si es el primer cuadrante, entonces puede confiar en la respuesta de su calculadora para la tangente inversa. Si se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, entonces debe agregar 180 grados o pi a la respuesta de su calculadora. Por último, si el número complejo se encuentra en el cuarto cuadrante, debe agregar 360 grados o 2pi a la respuesta que obtiene de la calculadora. Esto se debe a que su calculadora solo le da la primera respuesta que se ajusta, pero es posible que esta respuesta no lo coloque en el cuadrante correcto.

Ejemplo

Veamos un ejemplo. Convierta 2 – 4i a forma polar. Tenemos nuestro a = 2 y nuestro b = -4. Conectando estos en nuestro r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) , obtenemos r = sqrt (2 ^ 2 + (-4) ^ 2) = sqrt (4 + 16) = sqrt (20) = 4.47 . Bien, hemos encontrado nuestro radio. Es la raíz cuadrada de 20, aproximadamente 4,47. Ahora, necesitamos encontrar nuestro ángulo. Calculamos theta = tan ^ -1 (-4/2) = tan ^ -1 (-2) = -63.4 grados . Pero espere, mi número complejo está en el cuarto cuadrante, por lo que necesito agregar 360 grados a esta respuesta para obtener mi ángulo real. Obtengo -63,4 + 360 = 296,6 grados. Ahora yo también tengo mi ángulo. Ahora puedo conectarlos a mi forma polar de mi número complejo, z = r (cos (theta) + i * sin (theta) = 4.47 (cos (296.6) + i * sin (296.6)) . Mi respuesta, entonces, es z = 4.47 (cos (296.6) + i * sin (296.6)) . ¡Terminé! Eso no estuvo tan mal. Solo tenga en cuenta el cuadrante en el que se encuentra su número complejo al calcular su ángulo y realice los ajustes adecuados.

De Moivre

Ahora, hablemos de la fórmula de De Moivre . Esta fórmula nos dice cómo encontrar la potencia de un número complejo.

Al observar la fórmula, vemos que nos dice que la potencia de un número complejo son simplemente los argumentos de las partes del coseno y del seno multiplicados por la potencia. Esto hace que nuestra vida sea bastante fácil. Vamos a ver. Continuaremos con nuestro número complejo en forma polar, z = 4.47 (cos (296.6) + i * sin (296.6)) . Encuentre z ^ 10. Primero, reescribiremos nuestro número como z = (sqrt (20)) (cos (296.6) + i * sin (296.6)) . Ahora, z ^ 10 = 20 ^ 5 (cos (296.6) + i * sin (296.6)) ^ 10 . Tenemos 20 ^ 5 ya que una raíz cuadrada elevada a la décima potencia se convierte en una potencia de 5. Podemos seguir adelante y evaluar 20 ^ 5. Son 3.200.000. Ahora tenemos z ^ 10 = 3,200,000 (cos (296.6) + i * sin (296.6)) ^ 10 . Aplicando la fórmula de De Moivre, obtenemos z ^ 10 = 3,200,000 (cos (10 * 296.6) + i * sin (10 * 296.6)) . Esto se convierte en z ^ 10 = 3,200,000 (cos (2,966) + i * sin (2,966)) . Al evaluar esto, obtenemos z ^ 10 = 3,200,000 (0.07 + i * 0.997) = 224,000 + i * 3,190,400 . Y hemos terminado.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido: Aprendimos que los números complejos son nuestros números matemáticos con una parte real e imaginaria. Están escritos en la forma a + bi donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Para convertir un número complejo en forma polar, usamos estas fórmulas:

Tenemos cuidado al calcular la tangente inversa. Si nuestro número complejo original está en el segundo o tercer cuadrante, sumamos 180 a nuestra respuesta. Si nuestro número complejo original está en el cuarto cuadrante, sumamos 360. Si quisiéramos encontrar la potencia de un número complejo, usamos la fórmula de De Moivre :

Para usar esto, primero convertimos nuestro número complejo a forma polar y luego usamos la fórmula de De Moivre para ayudarnos con el cálculo de encontrar la potencia de nuestro número complejo en forma polar.

Los resultados del aprendizaje

Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Definir números complejos
• Identificar las fórmulas para convertir números complejos en forma polar.
• Recuerde las precauciones especiales que deben tomarse al calcular la tangente inversa.
• Describe cómo usar la fórmula de De Moivre para encontrar la potencia de un número complejo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador