Triángulo de Pascal: definición y uso con polinomios

Triángulo de Pascal

¿Has estado alguna vez en Egipto? No lo he hecho, pero definitivamente es uno de los lugares de este mundo que me gustaría visitar. ¡Pensar en Egipto siempre trae a la mente pirámides! Las pirámides me evocan una sensación de misterio y asombro.

En esta lección, aprenderemos sobre el misterioso y sorprendente Triángulo de Pascal . El triángulo de Pascal es un patrón numérico sorprendente que crea una forma de pirámide o triángulo a partir de los coeficientes binomiales. Lleva el nombre del matemático francés.

El triángulo comienza con un 1 en la parte superior, el pináculo de la pirámide. La siguiente línea del triángulo tiene dos unos: así:

La tercera línea del triángulo es 1, 2, 1. Aquí es donde comienza a ponerse realmente interesante. Pongamos dos líneas más del triángulo para ver realmente qué está pasando.

¿Notaste que los bordes exteriores son siempre 1? ¿Notaste que dentro del triángulo, cada nuevo número se encuentra sumando los dos que están arriba?

Si no notó el aspecto agregado, mire de nuevo. En la segunda línea tenemos 1 y 1. Justo debajo de esos dos hay un 2. 1 + 1 = 2. En la siguiente línea tenemos un 1 y un 2 uno al lado del otro. Debajo de ellos hay un 3. Debajo de los dos 3 hay un 6. ¿Lo ves ahora? Este patrón continúa por todo el triángulo. Con este proceso de adición, puede crear el Triángulo de Pascal para usted mismo hasta la cantidad de líneas que desee.

Lo último que notará, y será aún más obvio a medida que construya el triángulo, es que el triángulo es perfectamente simétrico. Entonces, mientras construye las líneas, recuerde, una vez que llegue al medio, el resto de los números de cualquier línea coincidirán con el reverso de la primera mitad de la línea.

Usos polinomiales del triángulo de Pascal

Bien, entonces, el Triángulo de Pascal es un patrón de números bastante bueno, pero ¿cómo ayuda eso con los polinomios?

Antes de responder eso, veamos una expansión polinomial: ( x + 1) ^ 3. Para resolver este problema tenemos que multiplicar: ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1). Eventualmente, terminaríamos con: x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 x + 1.

Si no está seguro de cómo obtuve esa respuesta, revise algunas de las otras lecciones de álgebra.

Lo que noto sobre este resultado es:

• Comenzando con el poder original, los poderes disminuyen en uno en cada término.
• Los coeficientes para cada término son 1, 3, 3, 1

¡Espera, 1, 3, 3, 1! ¡Esa es una de las líneas del triángulo!

¿Estás listo para esto? ¡Cada línea del triángulo representa en realidad los coeficientes de una expansión polinomial!

Mirando hacia atrás en nuestro triángulo, observe cómo los coeficientes de expansión polinomial coinciden perfectamente con los números del triángulo:

• ( x + 1) ^ 0 = 1
• ( x + 1) ^ 1 = 1 x + 1
• ( x + 1) ^ 2 = 1 x ^ 2 + 2 x + 1
• ( x + 1) ^ 3 = 1 x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 x + 1
• ( x + 1) ^ 4 = 1 x ^ 4 + 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 + 4 x + 1

Esta ilustración hace que el patrón sea bastante fácil de ver. Si desea expandir ( x + 1) ^ 5, solo necesitaría agregar otra línea al triángulo: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Por lo tanto, la expansión es x ^ 5 + 5 x ^ 4 + 10 x ^ 3 + 10 x ^ 2 + 5 x + 1.

Todo lo que tienes que recordar es disminuir los exponentes de cada término, ¡y el resto ya está hecho en el triángulo!

Ejemplos

Hagamos algunos ejemplos ahora. Para el primer ejemplo, vea si puede usar el Triángulo de Pascal para expandir ( x + 1) ^ 7. Escribe el triángulo elevado a la séptima potencia (recuerda que la primera línea es n ^ 0).

Las líneas son:

1
1, 1
1, 2, 1
1, 3, 3, 1
1, 4, 6, 4, 1
1, 5, 10, 10, 5, 1
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
1 , 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

Utilice la última fila como nuestros coeficientes. ( x + 1) ^ 7 = x ^ 7 + 7 x ^ 6 + 21 x ^ 5 + 35 x ^ 4 + 35 x ^ 3 + 21 x ^ 2 + 7 x + 1.

Aquí tienes un consejo: no olvides reducir los exponentes cada vez.

Probemos con otro ejemplo: expandir (3 x + 1) ^ 3.

No se deje engañar por el 3 x aquí. Funciona igual, pero ahora, en lugar de solo una x , usa 3 x . Así: 1 (3 x ) ^ 3 + 3 (3 x ) ^ 2 + 3 (3 x ) + 1 = 27 x ^ 3 + 27 x ^ 2 + 9 x + 1.

Consejo: no olvides aumentar el 3 de 3 x a cada potencia también.

Para nuestro último ejemplo, otro tipo de pregunta que puede ver al trabajar con polinomios es: «¿Cuál será el coeficiente del cuarto término en la expansión de (2 x + 1) ^ 5?»

Aquí, nuevamente, puede referirse al triángulo de Pascal. Comenzando con 0 para la parte superior, cuente hacia atrás hasta llegar a 5. Luego, cuente más de 4 lugares. Debería estar en el segundo 10. Esto significa que para la expansión de (2 x + 1) ^ 5, el cuarto término = 10 (2 x ) ^ 2 = 40 x ^ 2. Entonces, el cuarto término solo tiene un coeficiente de 40.

Resumen de la lección

Vaya, vale. Hemos aprendido que el Triángulo de Pascal es un patrón numérico asombroso que identifica los coeficientes para las expansiones polinomiales.

Las cosas que son realmente interesantes de notar sobre el triángulo son:

• Los números externos son todos 1.
• Dentro del triángulo, cada nuevo número se encuentra sumando los dos que están encima.
• El triángulo es perfectamente simétrico.
• Cada línea del Triángulo de Pascal muestra los coeficientes de expansión de la potencia polinomial correspondiente.

Esta ha sido una explicación muy rápida del triángulo de Pascal, centrándose estrictamente en su uso para expandir polinomios. ¡Espero que haya disfrutado de la lección y haya aprendido mucho sobre esta gran herramienta fácil de usar!

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, debería poder:

• Describe qué es el triángulo de Pascal
• Identificar las características clave del triángulo de Pascal
• Explica cómo se usa el triángulo de Pascal para expandir polinomios.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador