Cómo resolver una ecuación cuadrática graficando

Ecuaciones cuadráticas

Suponga que Brian está en el campo de prácticas. Golpea una pelota de golf de tal manera que su altura del suelo se puede modelar con la siguiente fórmula:

Altura de la bola = -16 x 2 + 100 x

Donde x es el tiempo, en segundos, después de que golpeó la pelota.

Buen viaje! Siente curiosidad por saber cuánto tiempo estuvo la pelota en el aire (o cuándo golpea el suelo). Bueno, veamos aquí. La pelota golpea el suelo cuando la altura es igual a cero, por lo que si establecemos nuestra fórmula igual a cero, entonces tenemos una ecuación que podemos resolver para satisfacer su curiosidad.

-16 x 2 + 100 x = 0

Este tipo de ecuación se llama ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial, con el mayor exponente 2, que se puede poner en la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a , b y c son constantes. Hay muchas formas de resolver ecuaciones cuadráticas, pero en esta lección, nos enfocaremos en un método, y es graficar.

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la representación gráfica

Resolver ecuaciones cuadráticas graficando todo gira en torno al hecho de que los puntos de intersección de dos gráficos son puntos que satisfacen ambas ecuaciones graficadas. Por lo tanto, si tomamos una ecuación cuadrática y hacemos que y 1 sea igual al lado izquierdo de la ecuación e y 2 sea igual al lado derecho de la ecuación, entonces cuando podamos graficar ambas ecuaciones, los valores x de sus los puntos de intersección nos darán las soluciones de la ecuación original.

Aclaremos un poco dividiendo este método de resolución en pasos. Dada una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = d , tomamos los siguientes pasos para resolver graficando:

1. Deje y 1 = ax 2 + bx + c y y 2 = d .
2. Grafica y 1 y y 2 en la misma gráfica.
3. Encuentra los puntos de intersección de las dos gráficas. Los valores x de los puntos de intersección son las soluciones de su ecuación.
4. Verifica tu respuesta con la ecuación original.

Esto no se ve tan mal. ¡Analicemos la ecuación de Brian a través de estos pasos!

La ecuación de Brian es -16 x 2 + 100 x = 0, entonces dejamos

y 1 = -16 x 2 + 100 x

y 2 = 0

¡Eso es bastante fácil! En el siguiente paso, queremos graficar ambas ecuaciones en la misma gráfica. Puede hacer esto a mano o puede usar una calculadora gráfica. El uso de una calculadora gráfica hará que el paso tres sea mucho más fácil, como veremos en un minuto.

¡Todavía no está tan mal! ¡Ahora viene la parte complicada! Tenemos que encontrar los puntos de intersección de las dos gráficas.

Si es obvio en el gráfico, podemos hacerlo a simple vista. Sin embargo, eso deja mucho margen para errores humanos. También podríamos hacerlo algebraicamente, pero para hacer eso, igualaríamos las dos ecuaciones entre sí, obteniendo -16 x 2 + 100 x = 0, y resolveríamos para x . ¡Pero espera! Ahí es donde comenzamos, y esta lección tiene que ver con resolver graficando. Nuestra última y mejor opción es utilizar una calculadora gráfica. Las calculadoras gráficas pueden representar gráficamente sus ecuaciones por usted y encontrar sus puntos de intersección, ¡definitivamente la ruta más fácil! Por supuesto, cada calculadora gráfica tiene diferentes formas de encontrar puntos de intersección, ¡pero el manual de su calculadora debería explicar exactamente cómo hacerlo!

¡Excelente! Vemos que los puntos de intersección son (0,0) y (6.25,0). ¡Guau, esa calculadora te facilita las cosas! ¡Tenemos nuestra respuesta! De acuerdo con esto, la pelota de golf está a la altura 0 a los 0 segundos, cuando golpea la pelota por primera vez, y a los 6.25 segundos, cuando la pelota golpea el suelo, por lo que la respuesta a la pregunta de Brian es que la pelota está en el aire por 6.25 segundos. segundos. Solo para asegurarnos, podemos verificar nuestras soluciones, x = 0 y x = 6.25, insertándolas en la ecuación original y asegurándonos de que sean verdaderas.

¡Hurra! ¡Hicimos todo correctamente!

Otro ejemplo

Consideremos un ejemplo más. Suponga que el área de un jardín rectangular que está creando en su patio trasero se puede modelar con la fórmula x 2 + 2 x , donde x es el ancho del jardín, en pies. Quieres que el área sea de 35 pies cuadrados, así que quieres resolver la ecuación x 2 + 2 x = 35.

¡Es una ecuación cuadrática! Resolvamos graficando.

Paso 1:

y 1 = x 2 + 2 x

y 2 = 35

Paso 2: Grafica ambas ecuaciones en la misma gráfica.

Paso 3: Encuentra los puntos de intersección.

Parece que nuestras soluciones son x = 5 y x = -7. Podemos descartar la respuesta negativa ya que estamos tratando con el ancho. Esto nos dice que si el jardín tiene un ancho de 5 pies, entonces el área será de 35 pies cuadrados como usted quería. ¡Pan comido!

Resumen de la lección

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial con el exponente más alto dos, que se puede poner en la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a , b y c son constantes. Podemos resolver la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = d graficando usando los siguientes pasos:

1. Deje y 1 = ax 2 + bx + c y y 2 = d .
2. Grafica y 1 y y 2 en la misma gráfica.
3. Encuentra los puntos de intersección de las dos gráficas. Los valores x de los puntos de intersección son las soluciones de su ecuación.
4. Verifica tu respuesta con la ecuación original.

Una calculadora gráfica, además de realizar este proceso paso a paso, hace que las cosas sean bastante simples, ¡una ventaja definitiva al resolver problemas matemáticos!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador