Derivada parcial: definición, reglas y ejemplos

Definición de derivada parcial

Las calorías consumidas y las calorías quemadas tienen un impacto en nuestro peso. Digamos que nuestro peso, u , depende de las calorías de los alimentos ingeridos, x , y de la cantidad de esfuerzo físico que hacemos, y . Si solo regulamos nuestra alimentación, mientras hacemos el mismo ejercicio todos los días, podríamos preguntarnos cómo cambia u cuando solo variamos x . Del mismo modo, podríamos mantener x constante y tomar nota de cómo varía u cuando cambiamos y . Esto sería como mantener una dieta diaria constante mientras cambiamos la cantidad de ejercicio que hacemos. Esta idea de cambio con respecto a una variable mientras se mantienen constantes otras variables está en el corazón de la derivada parcial.

Cuando escribimos u = u ( x , Y ), estamos hablando de que tenemos una función, u , que depende de dos variables independientes: x e y . Podemos considerar el cambio en u con respecto a cualquiera de estas dos variables independientes usando la derivada parcial. La derivada parcial de u con respecto ax se escribe como:

Lo que esto significa es tomar la derivada habitual, pero solo x será la variable. Todas las demás variables se tratarán como constantes. También podemos determinar cómo cambia u con y cuando x se mantiene constante. Este es el parcial de u con respecto ay . Está escrito como:

Por ejemplo, si u = y * x ^ 2, entonces:

Asimismo, podemos diferenciar con respecto ay y tratar x como una constante con la ecuación:

La regla para las derivadas parciales es que diferenciamos con respecto a una variable mientras mantenemos constantes todas las demás variables. Como otro ejemplo, encuentre las derivadas parciales de u con respecto a xy con respecto a y para:

Para hacer este ejemplo, necesitaremos la derivada de un exponencial con lo siguiente:

Y la derivada de un coseno, que se escribe como:

Así:

y

Derivados de segundo orden

Hasta ahora hemos definido y dado ejemplos de derivadas parciales de primer orden. Las derivadas parciales de segundo orden son simplemente la derivada parcial de una derivada parcial de primer orden. Podemos tener cuatro derivadas parciales de segundo orden, que puede ver aquí mismo:

Continuando con nuestro primer ejemplo de u = y * x ^ 2,

y

Igualmente,

y

Y en nuestro segundo ejemplo:

y

Las derivadas parciales mixtas se convierten en:

y

Tenga en cuenta que siempre obtendremos:

Esto se puede utilizar para comprobar nuestro trabajo.

Ampliación de derivadas parciales

¿Qué pasa si las variables x e y también dependen de otras variables? Por ejemplo, podríamos tener x = x ( s , t ) e y = y ( s , t ).

Entonces, como se puede ver, obtenemos las derivadas parciales mediante la adición de los diferentes derivadas parciales de x e y .

Resolvamos esto dadas las siguientes funciones:

Encontrar:

Primero calculamos las derivadas parciales de primer orden requeridas:

Entonces:

Otras notaciones derivadas

Las derivadas parciales se pueden expresar mediante un subíndice. En el caso de derivadas parciales de primer orden:

Para derivadas parciales de segundo orden:

Si observa detenidamente cada paso en el siguiente ejemplo, verá por qué se invierte el orden de los subíndices para derivadas parciales mixtas, lo que se refleja aquí:

Resumen de la lección

Repasemos muy brevemente lo que hemos aprendido sobre las derivadas parciales. Primero, vimos que las derivadas parciales se evalúan tratando una variable como la variable independiente mientras se mantienen constantes todas las demás variables. Podemos tomar derivadas parciales de primer orden siguiendo las reglas de la diferenciación ordinaria.

Luego vimos cómo las derivadas parciales de segundo orden son derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden. A continuación, vimos cómo evaluar derivadas parciales cuando las variables dependen de otras variables. Finalmente, observamos una notación de subíndice para expresar la derivada parcial, tanto con el primer como con el segundo orden.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador