Cómo resolver ecuaciones perfectamente al cubo

Ecuación perfectamente al cubo

Una ecuación perfectamente al cubo es una ecuación en la que tienes un valor al cubo menos o más otro valor al cubo. En términos de álgebra, decimos que una ecuación perfectamente al cubo tendrá la forma a ^ 3 – b ^ 3 = 0 o a ^ 3 + b ^ 3 = 0. Un ejemplo de una ecuación perfectamente al cubo es x ^ 3 – y ^ 3 = 0.

8 x ^ 3 + 64 = 0 es otro ejemplo. ¿Ves cómo esta última ecuación es una ecuación cúbica? Esta es un poco complicada, pero si la reescribimos en términos de cubos, verás cómo esta también es una ecuación perfectamente al cubo. Podemos reescribir el 8 como 2 ^ 3, y podemos reescribir el 64 como 4 ^ 3 para obtener 2 ^ 3 * x ^ 3 + 4 ^ 3 = 0. Como el 2 y la x están ambos al cubo, podemos combinarlos juntos para obtener (2 x ) ^ 3 + 4 ^ 3 = 0. Ahora, ¿ves cómo tenemos un valor al cubo más otro valor al cubo?

Otra forma en que puedes pensar en ecuaciones cúbicas es pensar en dos cubos y lo que se necesita para encontrar los volúmenes de ellos. Recuerde que el volumen de un cubo se calcula multiplicando su largo, ancho y alto. Dado que todos son iguales, solo necesitas multiplicar un lado tres veces. Terminas cubriendo uno de los lados, s ^ 3. Entonces, una ecuación perfectamente al cubo tendrá el volumen de un cubo menos o más el volumen de otro cubo. Tendrás un exponente de 3 tanto en el primer término como en el segundo término una vez que hayas reescrito tu ecuación para que incluya los exponentes.

¿Por qué necesitas saber cómo resolver este tipo de ecuaciones? Bueno, verá este tipo de ecuaciones en sus pruebas y en problemas de física. Sabrás cómo resolverlos fácilmente con las fórmulas que aprenderás en esta videolección. Entonces, sigamos adelante.

Las fórmulas

Tenemos una fórmula cuando tenemos un signo menos entre los cubos. Llamamos a la forma menos la diferencia de cubos . La fórmula para la forma menos es la siguiente: a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2).

La forma más se llama suma de cubos , y la fórmula para esta forma es la siguiente: a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2).

Al observar estas dos formas, puede ver que son prácticamente iguales, excepto por los signos menos y más. Intente conectar estos signos con los signos que ve en su ecuación. El primer conjunto de paréntesis son nuestros dos valores con el mismo signo que nuestra ecuación original. Si nuestra ecuación original tiene un plus, entonces este será un plus. Si es un signo menos, también será un signo menos.

El siguiente conjunto de paréntesis comienza con nuestro primer valor al cuadrado. Entonces será el signo opuesto de lo que está en nuestra ecuación original. Entonces, si nuestro original es un plus, entonces este será un negativo. Si es un menos, entonces será un plus. Luego vienen nuestros dos valores multiplicados entre sí. Entonces tenemos un plus para nuestro segundo valor al cuadrado. Siempre se agrega el último término.

Ahora veamos estas dos fórmulas en acción.

La diferencia de los cubos

Digamos que queremos resolver x ^ 3 – y ^ 3 = 0, que es una diferencia de cubos. Primero nos damos cuenta de que esta es una diferencia de cubos debido al menos, por lo que usaremos la fórmula de diferencia de cubos, que es a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ). A continuación, debemos averiguar cuál es a y cuál es b .

Para nuestro primer término, vemos una x al cubo, por lo que me dice que nuestra a es x . Nuestro segundo término es y al cubo, por lo que nuestra b es y . Ahora puedo simplemente insertar estos valores en nuestra fórmula y resolver. Estoy enchufando x para una y y para b . Veamos lo que obtenemos.

x ^ 3 – y ^ 3 = ( x – y ) ( x ^ 2 + xy + y ^ 2)

Ahora seguimos adelante y resolvemos nuestro primer conjunto de paréntesis y el segundo conjunto de paréntesis para encontrar nuestras respuestas. Establecemos ambos iguales a 0 para encontrar nuestras respuestas.

x – y = 0 y x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 0

Estamos despejando x . Entonces, nuestro primer conjunto de paréntesis nos da x = y cuando movemos la y agregándola a ambos lados. Para resolver nuestro segundo conjunto de paréntesis, necesitamos usar lo que sabemos sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas. Esta ecuación en particular requiere el uso de la fórmula cuadrática para ayudarnos. Recordamos que la fórmula cuadrática es x = (- b +/- sqrt ( b ^ 2 – 4 ac )) / 2 a .

Comparando esto con nuestra ecuación, veo que mi a es 1, mi b es y y mi c es y ^ 2. Continúo y conecto estos valores en mi fórmula cuadrática y esto es lo que obtengo:

x = (- y +/- sqrt ( y ^ 2 – 4 * 1 * y ^ 2)) / 2 * 1

Al evaluar esta ecuación, obtengo esto:

x = (- y +/- sqrt ( y ^ 2-4 y ^ 2)) / 2, que se convierte en x = (- y +/- sqrt (-3 y ^ 2)) / 2

Hmm. Creo que he llegado al final. Veo que dentro de mi raíz cuadrada terminaré con un número negativo. Entonces, eso me dice que aquí no hay soluciones reales. Entonces, mi única respuesta es x = y .

La suma de cubos

Ahora, ¿qué pasa con la suma de cubos? Resolvamos la ecuación 8 x ^ 3 + 64 = 0 para ver qué sucede. Utilizo la fórmula para la suma de cubos, que es a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2). No puedo usar esta fórmula de inmediato porque necesito reescribir mi ecuación para poder ver qué valores se están cubriendo. Analizo mis números y veo que mi 8 se puede reescribir como 2 ^ 3 y mi 64 se puede reescribir como 4 ^ 3.

Mi 2 ^ 3 y mi x ^ 3 se pueden combinar para (2 x ) ^ 3, por lo que puedo reescribir mi ecuación para que sea (2 x ) ^ 3 + 4 ^ 3 = 0. Ahora puedo ver claramente qué valores se están cubicado. Mi a es 2 x y mi b es 4. Ahora puedo insertarlos en mi fórmula. Al hacerlo, obtengo esto:

(2 x ) ^ 3 + 4 ^ 3 = (2 x + 4) ((2 x ) ^ 2 – 2 x * 4 + 4 ^ 2)

Esto se evalúa como (2x + 4) (4x ^ 2 – 8x + 16).

Hago lo mismo que hice con la diferencia de cubos para seguir resolviendo. Establezco ambos conjuntos de paréntesis iguales a 0.

2x + 4 = 0 y 4x ^ 2 – 8x + 16 = 0

Resolviendo el primero restando 4 de ambos lados y luego dividiendo por 2, obtengo x = -2.

Para resolver el segundo, necesito usar lo que sé sobre cómo resolver cuadráticas. Aquí nuevamente, puedo usar la fórmula cuadrática. Por lo general, con ecuaciones cúbicas, necesitará usar la fórmula cuadrática para resolver esta parte. Para mi fórmula cuadrática, veo que mi a es 4, mi b es -8 y mi c es 16. Al insertarlos en la fórmula, obtengo x = (8 +/- sqrt ((-8) ^ 2 – 4 * 4 * 16)) / 2 * 4 que se convierte en x = (8 +/- sqrt (64-256)) 8. La parte dentro de la raíz cuadrada se convierte en -192, que es un número negativo. Entonces eso me dice que de nuevo no tengo soluciones reales. Entonces mi única solución aquí es x = -2. ¡Y hemos terminado!

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que una ecuación perfectamente al cubo es una ecuación en la que tienes un valor al cubo menos o más otro valor al cubo. Tenemos dos formas diferentes de ecuaciones perfectamente al cubo. Podemos tener la diferencia de cubos , que es a ^ 3 – b ^ 3 = 0, y podemos tener la suma de cubos , que es a ^ 3 + b ^ 3 = 0.

Para resolver este tipo de ecuaciones, usamos las fórmulas de cada forma. Para la diferencia de cubos utilizo la fórmula a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2), y para la suma de cubos utilizo la fórmula a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2).

Para continuar resolviendo, establezco ambos pares de paréntesis iguales a 0 y resuelvo x . Utilizo mis habilidades de álgebra para resolver el primer par de paréntesis. Utilizo lo que sé sobre ecuaciones cuadráticas para resolver el segundo par de paréntesis. Por lo general, requiere el uso de la fórmula cuadrática. Si la parte dentro de la raíz cuadrada es negativa, entonces sé que no habrá ninguna solución real de este segundo conjunto de paréntesis y mi única respuesta es la que obtuve al resolver el primer conjunto de paréntesis.

Los resultados del aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder:

• Identificar una ecuación perfectamente al cubo
• Manipular una ecuación para aplicar la diferencia de cubos o fórmulas de suma de cubos para resolver

Rodrigo Ricardo Editor y fundador