Cóncavo hacia arriba: definición, función y gráfico

¿Qué es cóncavo hacia arriba?

Una sección de una curva es cóncava hacia arriba si el valor de y crece a un ritmo cada vez más rápido moviéndose de izquierda a derecha. Si miras la curva desde arriba, te recordará el interior de un cuenco. Usando el cálculo, encontraría que la primera derivada estaba aumentando en ese intervalo y la segunda derivada era mayor que cero.

Lo opuesto de cóncavo hacia arriba, en el que el valor de y disminuye de izquierda a derecha, se llama cóncavo hacia abajo. Aquí hay una gráfica de una función con ambos tipos de cóncavos. Las regiones rojas son cóncavas hacia arriba mientras que las regiones azules son cóncavas hacia abajo. Tenga en cuenta que las secciones cóncavas hacia arriba no son solo las que se inclinan hacia arriba, sino también donde una pendiente hacia abajo comienza a disminuir. Lo contrario es cierto para las secciones cóncavas hacia abajo. Este cambio gradual en el valor de y le da a cada sección cóncava su forma de cuenco.

Gráfico con regiones cóncavas hacia arriba (rojo) y cóncavas hacia abajo (azul)

Puede recordar la diferencia entre cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo imaginándolos como una serie de cuencos. Las secciones cóncavas hacia arriba atraparían el agua de lluvia, mientras que las secciones cóncavas hacia abajo son cuencos al revés y no lo harían.

¿Qué significa cóncavo hacia arriba?

Entonces, ¿qué nos dice una sección cóncava hacia arriba de un gráfico? Por lo general, es una señal de rápido crecimiento o declive. Suponga que su tía Felicity es una coleccionista de gatos. Cada vez que ve a un vagabundo vagando por la carretera, abre la puerta de su minivan, coloca un cuenco de leche para tentar a la criatura peluda que está adentro y luego lleva al gato nuevo a su granja de gatos. Debido a que agrega nuevos gatos todos los días, y debido a que esos gatos parecen tener una extraña habilidad para reproducirse rápidamente con la fórmula única con la que los alimenta, rápidamente se ve invadida por gatos y está feliz por eso.

La población de gatos de la tía Felicity comienza creciendo muy rápidamente y ese crecimiento parece acelerarse cada año durante los primeros cinco años. En el primer año de recolección de gatos, agrega 90 gatos nuevos. Al tercer año, esos gatos se han multiplicado a 596, y al quinto año, la tía Felicity tiene 2500 gatos. Esos primeros cinco años no se trata solo de un aumento en la cantidad de gatos, sino de un aumento en la tasa de ganancia o crecimiento. La tía Felicity recibe más gatos nuevos cada año que el año anterior. La curva de población de gatos es cóncava para estos cinco años, como se muestra en la sección roja de la curva.

Gráfico de los gatos de la tía Felicitys

Otra forma de pensar en cóncavo es relacionarlo con la aceleración. Si nuestra ecuación representara un cambio en la distancia a lo largo del tiempo, entonces una sección cóncava hacia arriba en la curva significaría que hubo una aceleración positiva o una velocidad creciente. En nuestro ejemplo, la tía Felicity está ‘acelerando’ con respecto a la adición a su colección de gatos.

Por el contrario, observe la sección azul de la curva, el tiempo entre el quinto y el décimo año, y observe que la curva ahora es cóncava hacia abajo. La tía Felicity está perdiendo fuerza. De hecho, durante cada año después del quinto, la tía Felicity recolecta cada vez menos gatos. Quizás se esté quedando sin comida. Tal vez los gatos se sientan abarrotados y se alejen. Tal vez se esté aburriendo de los gatos y haya decidido dedicarse a la pintura al óleo. Si bien todavía está aumentando su colección de gatos, lo está haciendo a un ritmo que disminuye gradualmente. Esta tendencia hace que la curva cambie de dirección.

La matemática detrás de la concavidad

Una gráfica es cóncava hacia arriba si la pendiente de la recta tangente a la gráfica aumenta gradualmente a medida que se mueve de izquierda a derecha. También debería ser cierto que las pendientes de los segmentos de línea que conectan dos puntos cualesquiera, también conocidos como líneas secantes, serían gradualmente más grandes, al menos dentro de una región lo suficientemente pequeña. En otras palabras, el gráfico se vuelve más empinado, es cóncavo. En el gráfico de la granja de gatos de la tía Felicity, puedes ver que la línea naranja es más pronunciada que la línea verde. El gráfico es cóncavo en esa región.

La forma más fácil de determinar si una gráfica es cóncava hacia arriba en algún punto o en alguna región, es usar la segunda derivada, que quizás recuerde del cálculo. Recuerde que una derivada es simplemente una ecuación que da una tasa de cambio en algún momento. Tomar la primera derivada le da una medida de la tasa de cambio, por ejemplo, la velocidad, que mide el cambio en el espacio a lo largo del tiempo. Una segunda derivada revelará el ‘cambio en el cambio’, algo como la aceleración o el cambio de velocidad a lo largo del tiempo.

Volvamos a visitar a la tía Felicity. La adición a su colección de gatos en cualquier momento es un cambio, y siempre es positivo. Ella siempre está agregando gatos, sea cual sea el ritmo. Si está ganando impulso como lo hizo en los primeros cinco años, entonces sus adiciones de gatos se están haciendo más rápidas. Su ‘cambio en el cambio’ es positivo y la segunda derivada sería mayor que cero.

Sin embargo, tenga cuidado, porque si una función, o curva, está disminuyendo (inclinada hacia abajo de izquierda a derecha), entonces cóncavo hacia arriba puede no significar que está aumentando, pero que no está disminuyendo tan rápido como antes.

Si la tía Felicity decidiera que ya no quería tantos gatos en su granja, probablemente empezaría a deshacerse de ellos con bastante rapidez. A medida que gradualmente se volvía menos molesta por su inmenso número de gatos, regalaba cada vez menos. Su aumento de gatos durante esta fase es siempre negativo; ella está perdiendo gatos. Sin embargo, se vuelve menos negativo con el tiempo. En matemáticas, volverse menos negativo es realmente la misma dirección que volverse más positivo. Si la tía Felicity está perdiendo gatos a un ritmo gradualmente más lento, y tener muchos gatos es bueno, entonces está mejorando. La curva aún sería cóncava. ¿Confuso? Bueno, no se preocupe. Todo lo que tiene que hacer es buscar una región en forma de cuenco que mire hacia arriba en un gráfico o una segunda derivada que sea positiva.

Resumen de la lección

Una relación como se muestra en una ecuación o gráfico es cóncava hacia arribasi el gráfico aumenta gradualmente en pendiente durante algún intervalo. Por lo general, una sección cóncava hacia arriba de un gráfico es un signo de rápido crecimiento o disminución porque indica un cambio en la tasa de ganancia o pérdida, según lo que mida el gráfico. Hay algunas formas diferentes de identificar las secciones cóncavas de un gráfico. En primer lugar, a menudo puede identificarlos visualmente. Busque secciones del gráfico que parezcan cuencos que puedan recoger el agua de lluvia. También puedes tomar la segunda derivada de la función. Si una función es cóncava en ese punto, entonces la segunda derivada será positiva. Recuerde que cóncavo no siempre implica una aceleración rápida. También puede indicar una disminución en la tasa de pérdida, volviéndose cóncava hacia arriba a medida que disminuye la pendiente descendente de una función.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador