Reorganizar ecuaciones lineales antes de graficar

Pendiente

Suponga que le está creciendo el cabello y quiere saber qué tan rápido crece su cabello cada mes. Mides tu cabello durante los primeros cuatro meses. Después de 2 meses, el largo de su cabello es de 6.5 pulgadas y después de 4 meses, el largo de su cabello es de 8 pulgadas.

La velocidad a la que crece su cabello sería la pendiente de la línea que representa el crecimiento de su cabello. La pendiente de una recta es la tasa a la que y cambia con respecto a x . Podemos encontrar la pendiente usando la siguiente fórmula:

En nuestro ejemplo de cabello, tenemos que a los 2 meses, tu cabello mide 6.5 pulgadas y a los 4 meses, tu cabello mide 8 pulgadas. Esto da los dos puntos, (2, 6.5) y (4, 8), en la línea que representa el crecimiento de su cabello. Podemos encontrar la pendiente, o la velocidad a la que crece su cabello, usando la fórmula.

Vemos que su cabello crece a un ritmo de 3/4 pulgadas por mes, por lo que la pendiente de la línea que representa el crecimiento de su cabello es 3/4.

Lo bueno de conocer la pendiente de una línea es que si conocemos un punto de la línea, podemos usar la pendiente para encontrar otro punto en la línea. Si una línea tiene pendiente a / b , comenzamos en el punto conocido y movemos a unidades verticalmente yb unidades horizontalmente para llegar a otro punto de la línea. Es decir, si el punto ( x 1 , y 1 ) está en una recta con pendiente a / b , entonces el punto ( x 1 + b , y 1 + a) también está en la línea. Si hacemos esto en un gráfico y luego conectamos los puntos en una línea, ¡tenemos un gráfico de la línea!

Considere nuestro ejemplo de cabello. Conocemos dos puntos en la línea, por lo que podemos graficar la línea conectando estos puntos. La siguiente imagen ilustra que si comenzamos en el punto (2, 6.5), y avanzamos 3 unidades y más de 4 unidades como sugiere la pendiente, 3/4, terminamos con otro punto en esa línea.

Al mirar nuestra línea recién graficada, podemos ver en la marca de los seis meses, la longitud de su cabello será de 9.5 pulgadas. Vemos que si conocemos la pendiente y un punto en una línea, ¡podemos graficar la línea!

Forma pendiente-intersección de una línea

Bien, genial, entonces sabemos cómo usar un punto en una línea y la pendiente de la línea para graficar la línea, pero ¿cómo nos ayuda eso a graficar una línea que se nos da en forma de ecuación? Si pudiéramos identificar de alguna manera la pendiente y un punto en la línea a partir de una ecuación, podríamos usar lo que acabamos de aprender para graficar la línea.

¡Tengo buenas noticias! Existe una forma de ecuación lineal llamada forma pendiente-intersección , y podemos identificar fácilmente la pendiente y un punto en la línea cuando una ecuación lineal tiene esta forma.

Observe que cuando tenemos una ecuación lineal en forma pendiente-intersección, la pendiente es el número frente a la x , y la intersección y es el número en sí mismo. Esta es la información exacta que queríamos.

Por ejemplo, considere la línea y = 3 x + 2. El número delante de x es 3, por lo que la pendiente es 3, y el número por sí solo es 2, por lo que la intersección en y es (0, 2). Podemos usar esta información para trazar otro punto y graficar la línea.

Reorganizar ecuaciones lineales antes de graficar

Como hemos visto, es muy fácil identificar la pendiente y un punto de la forma pendiente-intersección de una línea. Sin embargo, no siempre se nos da una ecuación lineal de esta forma. Cuando obtenemos una ecuación lineal que no está en forma pendiente-intersección, podemos manipularla, o reorganizarla, para obtenerla en forma pendiente-intersección. Luego podemos identificar la pendiente y la intersección con el eje y , y usarlas para graficar la línea. Se puede hacer cualquiera de las siguientes cosas para reorganizar una ecuación sin cambiar la solución de la ecuación:

1. Suma o resta el mismo término de ambos lados.
2. Multiplica o divide ambos lados por el mismo término distinto de cero
3. Simplifica cualquier lado
4. Lados de intercambio

Piense en nuestro ejemplo de cabello. La ecuación lineal 4 y – 3 x = 20 representa el crecimiento de su cabello, donde y es la longitud de su cabello en pulgadas y x es la cantidad de meses que han pasado desde que comenzó a dejarlo crecer. Suponga que queremos encontrar la pendiente de la línea y un punto en la línea para usarlo para graficar la línea. Podemos manipular la ecuación para ponerla en forma pendiente-intersección.

Vemos que nuestra ecuación es y = (3/4) x + 5 en forma pendiente-intersección. Podemos identificar la pendiente como 3/4, ya que este es el número delante de x , y podemos identificar nuestra intersección y como 5, ya que este es el número en sí mismo. Ahora, usemos esta información para graficar la línea.

Vemos que obtenemos el mismo gráfico que obtuvimos la primera vez que lo hicimos, como se esperaba.

Resumen de la lección

La pendiente de una recta es la tasa a la que y cambia con respecto a x . Si la pendiente de una línea es a / b , podemos usar esa pendiente junto con un punto en esa línea para encontrar otro punto en la línea y luego conectar los puntos para graficar la línea. Comenzamos en el punto conocido, movemos a unidades verticalmente yb unidades horizontalmente para llegar a otro punto de la línea. Luego conectamos los dos puntos y tenemos nuestro gráfico.

Cuando se da una ecuación lineal en forma pendiente-intersección, y = m x + b , m es la pendiente y (0, b ) es la intersección y . Podemos usar esta información para graficar la línea como acabamos de describir. Cuando se da una ecuación lineal en cualquier forma que no sea pendiente-intersección, podemos reorganizar la ecuación para ponerla en forma pendiente-intersección. Luego, podemos identificar la pendiente y la intersección con el eje y y usarlas para graficar la línea. Como hemos visto, poder reorganizar una ecuación lineal nos permite graficar fácilmente la línea que representa la ecuación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador