Cómo determinar los valores propios de una matriz

Multiplicación de matrices y vectores

Algunos de los primeros fundamentos que aprende para trabajar con matrices son cómo multiplicarlas por escalares, vectores y otras matrices. Multiplicar una matriz por una matriz o un escalar te da otra matriz, pero multiplicar por un vector funciona de manera un poco diferente. Cuando multiplicas una matriz ( A ) por un vector ( v ) obtienes un nuevo vector ( x ).

También hay un caso especial en el que, en lugar de obtener un vector completamente nuevo, obtiene una versión escalada del mismo vector con el que comenzó. En otras palabras, una matriz multiplicada por un vector es igual a un escalar ( lambda ) multiplicado por ese mismo vector.

Cuando esto sucede que llamamos el escalar ( lambda ) un valor propio de la matriz A . La cantidad de valores propios que tiene una matriz dependerá del tamaño de la matriz. Una matriz de n x n tendrá n valores propios. En esta lección, aprenderemos cómo encontrar los valores propios de una matriz dada.

Encontrar valores propios

Antes de entrar en ejemplos, necesitamos encontrar la solución general para encontrar los valores propios de una matriz n x n . Para encontrar esto, comenzaremos con nuestra ecuación de la última sección y la reorganizaremos para obtener todo en un lado del signo igual, como puede ver ahora en la ecuación en su pantalla.

Hay un par de cosas que debemos tener en cuenta aquí. Por un lado, el cero aquí no es un escalar, sino el vector cero. En segundo lugar, estamos buscando una solución a la ecuación anterior con la condición de que v no sea igual a cero. Cuando v es igual a cero, el valor de lambda se vuelve trivial porque cualquier escalar o matriz multiplicado por un vector cero es igual a otro vector cero.

Lo siguiente que debemos hacer es multiplicar lambda * v por una matriz de identidad ( I ). Multiplicar por una matriz de identidad es como multiplicar por uno para ecuaciones escalares. En otras palabras, en realidad no afecta los valores de nuestra ecuación, como puede ver en la pantalla.

Dado que tanto A como lambda * I se multiplican por v , podemos factorizarlo.

Cuando v no es igual a cero, esta ecuación es verdadera solo si la matriz por la que multiplicamos v no es invertible. Esto significa que no debe existir una matriz B tal que C * B = B * C = I , donde C = A – lambda * I en nuestro caso. Una matriz es no invertible solo cuando su determinante es igual a cero, como puede ver en su pantalla ahora mismo.

Cuando resolvemos el determinante, obtendremos un polinomio con valores propios como raíces. Llamamos a este polinomio de la matriz polinomio característico . Luego, podemos averiguar cuáles son los valores propios de la matriz resolviendo las raíces del polinomio característico.

Ejemplo 1: Matriz 2×2

Practiquemos encontrar valores propios mirando una matriz de 2×2. Anteriormente dijimos que una matriz n x n tiene n valores propios. Entonces, una matriz de 2×2 debería tener 2 valores propios. Para este ejemplo, veremos la siguiente matriz con 4, 2, 1 y 3.

Para encontrar los valores propios, usaremos la ecuación determinante que encontramos en la sección anterior.

Primero insertamos nuestra matriz para A y escribimos la matriz identidad. En general, una matriz de identidad se escribe como una matriz n x n con unos en la diagonal que comienzan en la parte superior izquierda y ceros en todas partes, que puede ver en las matrices que aparecen en su pantalla en este momento. Vamos a utilizar una matriz identidad 2×2 aquí porque queremos que sea del mismo tamaño que una .

A continuación, queremos simplificar todo dentro del determinante para obtener una única matriz.

Ahora estamos listos para resolver el determinante y encontrar el polinomio característico de la matriz.

Todo lo que nos queda por hacer es encontrar las raíces del polinomio característico para obtener nuestros valores propios. Hay algunos métodos diferentes que puede usar para intentar encontrar las raíces de un polinomio de segundo orden, pero el único método que siempre funciona es usar la ecuación cuadrática, que podemos ver aquí en la pantalla. Veámoslo paso a paso:

Ejemplo 2: Matriz 3×3

Ahora que hemos encontrado los valores propios para una matriz de 2×2, intentemos algo un poco más complicado encontrándolos para una matriz de 3×3. Usaremos la matriz que ve en nuestra pantalla para este ejemplo, con los números 1, 2, 1, -2, 1, 1, 4, 2 y 0.

Nuevamente, comenzamos insertando nuestra matriz para A y escribiendo la matriz de identidad. La matriz de identidad será una matriz 3×3 para que coincida con el tamaño de A .

Al igual que antes, necesitamos simplificar el interior del determinante para obtener una sola matriz.

Para resolver este determinante, veremos cada uno de los tres elementos en la fila superior de forma consecutiva y tacharemos todo lo demás en la misma fila y columna. Luego, multiplicaremos ese elemento por un determinante de 2×2 hecho de todo lo que no tachamos, y colocaremos los tres determinantes de 2×2 que obtenemos en una ecuación como se ve en el diagrama en su pantalla.

Diagrama para encontrar determinantes 3×3

Como puede ver, suma los determinantes junto con signos positivos y negativos alternos entre ellos. Ahora solo necesitamos resolver los determinantes 2×2 y simplificar la ecuación para obtener nuestro polinomio característico.

Para finalizar, solo necesitamos obtener nuestros valores propios encontrando las raíces del polinomio característico. Esto puede requerir más prueba y error que nuestro ejemplo de 2×2, ya que la ecuación cuadrática solo funciona para polinomios de segundo orden y tenemos una de tercer orden aquí. Debido a la complejidad de resolver todo esto, no cubriremos todos y cada uno de los pasos, pero, como puede ver, una vez que hayamos resuelto todo, nuestras lambda son 2, 1 y -1.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido sobre la determinación de los valores propios de una matriz. En general, cuando multiplicamos una matriz ( A ) por un vector ( v ) obtenemos un nuevo vector ( x ).

Existe un caso especial para esta regla en el que, en lugar de obtener un nuevo vector, se obtiene una versión escalada del mismo vector anterior.

Cuando esto sucede que llamamos el escalar ( lambda ) un valor propio de la matriz A . El número de valores propios que tiene A depende de su tamaño. Una matriz de n x n tendrá n valores propios.

Si multiplicamos el lado derecho de nuestra ecuación por la matriz identidad ( I ) y reorganizamos nuestra fórmula, podemos obtener la siguiente ecuación:

Hay dos cosas para recordar aquí. Primero, buscamos una solución a la ecuación con la condición de que v no sea igual a cero. Cuando v es igual a cero, el valor de lambda se vuelve trivial porque cualquier escalar o matriz multiplicado por el vector cero es igual al vector cero.

En segundo lugar, para que esta ecuación sea cierta, la matriz que multiplicamos por v debe ser no invertible. Esto significa que su determinante debe ser igual a cero.

Encontrar el determinante nos dará el polinomio característico de la matriz con valores propios como raíces. Resolver las raíces nos dará nuestros valores propios.

Finalmente, aunque analizamos específicamente ejemplos de una matriz de 2×2 y 3×3, debe recordar que esta fórmula funciona para encontrar los valores propios de una matriz cuadrada de cualquier tamaño.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador