Modelos cuadráticos: forma inversa y vértice

Modelado de datos con la calculadora TI-84

Supongamos que tenemos datos que representan el índice de masa corporal (IMC) frente a la edad en los hombres. Si estos puntos de datos son parabólicos, ¿podemos encontrar un modelo de regresión cuadrático (polinomial) para ajustarlos? Luego, convierta la función polinomial a la forma de vértice . ¿Cómo se comparan las gráficas de estas formas? Por último, ¿existe una inversa para esta función y cómo se compara su gráfica? Haremos todo esto usando una calculadora gráfica TI-84.

Ejemplo: edad frente a datos de IMC

Se nos dan varios puntos de datos para el IMC frente a la edad en hombres entre las edades de 0 a 10 años. En la siguiente tabla de datos, L1 es la edad y L2 es el IMC:

Tabla de edad frente a IMC

Estos puntos representan una curva de regresión cuadrática en algún lugar entre el percentil 90 y 95 de cambio de IMC frente a la edad. ¿Podemos encontrar un modelo de regresión cuadrática para ajustar estos datos usando la TI-84? Ya hemos colocado estos puntos en nuestra calculadora usando el comando STAT EDIT.

Regresión cuadrática

Primero, es importante configurar el MODO. MODE establecerá cosas tales como si estamos trabajando en Modo Normal, Científico o de Ingeniería, a qué lugar decimal estamos redondeando, si estamos usando números reales o números imaginarios, y usando coordenadas cartesianas o coordenadas polares. La configuración de MODO debería verse así:

Después de configurar el MODO, regresamos a la pantalla de inicio y presionamos STAT CALC y seleccionamos la opción QuadReg como se muestra:

Después de presionar enter, se nos pedirá que ingresemos variables representativas de nuestras columnas de datos como se indica en la tabla anterior, en este caso L1 para nuestros valores xy L2 para nuestros valores y:

Ahora presione ENTER:

Ecuación QuadReg

Se nos da la siguiente función cuadrática en la forma de y = ax 2 + bx + c.

Redondeando a un lugar decimal, tenemos a = 0.20, b = – 1.6 yc = 22

Esto nos da:

y = 0,20x 2 – 1,6x + 22

Colocamos esta función en la calculadora Y =

Ahora presione el comando GRAPH. Tenga en cuenta que después de presionar GRÁFICO, tendremos que usar el ZOOM (seleccionando el comando ZoomFit) como se muestra para configurar automáticamente nuestra VENTANA para que tengamos los límites adecuados de nuestro sistema de coordenadas cartesianas, para poder ver la función. Pulsamos el comando ZOOM y seleccionamos ZoomFit:

Después de presionar ENTER, se nos da la siguiente pantalla de la función:

y = 0,20x 2 – 1,6x + 22

Esta es la gráfica de nuestra función de regresión cuadrática y = 0.20x 2 – 1.6x + 22.

Forma de vértice

Podemos convertir manualmente esta función en la forma de y = ax 2 + bx + c a la forma de vértice resolviendo primero x = – b / 2a:

x = – b / (2 (a)) = – (- 1,6) / (2 (0,20)) = 4.

Ingresando x podemos resolver para y:

y = 0,20x 2 – 1,6x + 22 = = 0,20 (4) 2 – 1,6 (4) + 22 = 18,8.

Tenga en cuenta que nuestra forma de vértice es simplemente una forma diferente de expresar y = 0.20x 2 – 1.6x + 22 algebraicamente, donde x = 4 y y = 18.8.

Nuestra forma de vértice es:

y = (x – 4) 2 + 18,8

Entonces, (4, 18.8) será nuestro vértice (o nuestro valor mínimo) a lo largo de y = (x – 4) 2 + 18.8. Si ingresamos la forma de vértice en nuestro Y =

Ahora presione GRÁFICO y vemos que y = 0.20x 2 – 1.6x + 22 y y = (x – 4) 2 + 18.8 son aparentemente idénticos:

y = (x – 4) 2 + 18,8

Forma inversa

La siguiente pregunta es si y = 0.20x 2 – 1.6x + 22 tiene una función inversa respectiva. Para determinar si tenemos un inverso correspondiente, veamos el gráfico nuevamente:

La prueba de la línea horizontal.

Dado que los dominios y rangos se cambian entre funciones y sus inversas, y dado que la prueba de línea vertical se usa para determinar una función, aplicamos una prueba de línea horizontal para determinar si hay una función inversa y dónde. Al ingresar algunas líneas horizontales a través de algunos valores de y específicos, vemos que intersecan la función y = 0.20x 2 – 1.6x + 22 en más de 1 punto.

Prueba de línea horizontal para inversa

Si cortamos la función por la mitad a través de su mínimo (o vértice), vemos que existe una inversa para la función de y = 0.20x 2 – 1.6x + 22 o y = (x – 4) 2 + 18.8 a través de x ≥ 18.8 . Sin embargo, no habrá uno hasta 18,8 ≥ x. Puede ser más fácil algebraicamente encontrar la inversa tomando la forma de vértice y = (x – 4) 2 + 18.8, cambiando el valor de x y los valores de y:

x = (y – 4) 2 + 18,8

Resolviendo para y

y = √ (x – 18,8) + 4

Ingresando y = √ (x – 18.8) + 4 en Y =

Usando GRAPH, esta función se muestra de la siguiente manera. Tenga en cuenta que, como antes, es posible que tengamos que usar el comando ZoomFit aquí también:

Inversa de y = (x – 4) 2 + 18,8 o y = 0,20x 2 – 1,6x + 22

Observe visualmente que y = √ (x – 18.8) + 4 tiene su dominio y rango intercambiado con su inverso y = (x – 4) 2 + 18.8 o y = 0.20x 2 – 1.6x + 22. Por ejemplo, tuvimos un punto en x = 4 e y = 18,8 en x = (y – 4) 2 +18,8.

Ahora, tenemos un punto de (18.8, 4) en y = √ (x – 18.8) + 4:

Resumen de la lección

Usando una calculadora gráfica científica, específicamente la TI-84, encontramos una línea de regresión cuadrática que se ajusta a un conjunto de puntos de datos que representan la edad frente al IMC. Una vez que obtuvimos y graficamos esta función cuadrática (polinomial), encontramos su vértice y formas inversas algebraicamente y comparamos sus gráficos con el de su función polinomial madre.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador