Construir funciones lineales y exponenciales

Funciones: sus gráficos y conjuntos de datos

Como los conjuntos de datos pueden variar caso por caso, también pueden hacerlo las ecuaciones que representan estos conjuntos de datos. Veremos dos ejemplos, uno de función lineal y otro de función exponencial. Buscamos comprenderlos tanto desde un punto de vista algebraico como gráfico.

Una función lineal

Dado un ejemplo de una función lineal , veamos su conexión con su gráfico y conjunto de datos respectivos. Dos formas básicas de expresar funciones lineales son la forma pendiente-intersección y la fórmula punto-pendiente. La forma pendiente-intersección es y = mx + b ; m representa la pendiente , o pendiente , y b representa el lugar donde la línea intercepta el eje y. Si se nos da la ecuación para la línea de y = 2x + 1 , la pendiente es m = 2 y la intersección en y es b = 1 o el punto (0, 1), en el sentido de que cruza el eje y en y = 1 .

Es importante notar que si se dan dos puntos, podemos calcular la pendiente (o el cambio en y sobre el cambio en x ) de y = 2x + 1 . Por ejemplo, si tenemos dos puntos en la línea como (0, 1) y (1, 3), entonces m = (3 – 1) / (1 – 0) = 2 . Esta es la fórmula punto-pendiente : m = y2-y1 / x2-x1 .

Conectemos nuestra función lineal con su conjunto de datos y gráfico correspondientes.

Conjunto de datos lineales

A medida que ingresamos valores de x en y = 2x + 1 , obtenemos los valores de y correspondientes . Por ejemplo, cuando x = 0, y = 2 (0) + 1 = 1 . Tenga en cuenta que este punto (0,1) resulta ser nuestra intersección con el eje y. Cuando x = 1, y = 2 (1) + 1 = 3 . Cuando x = 2, y = 2 (2) + 1 = 5 . A medida que continuamos obteniendo puntos de esta ecuación, podemos construir un conjunto de datos que se ve así:

Conjunto de datos de y = 2x + 1

Este conjunto de datos parece ser aritmético (ar-ith- met -ik) en el sentido de que los valores de y aumentan aritméticamente con respecto a x . Es decir que a medida que x aumenta en incrementos constantes de 1 en esta función, y aumenta en incrementos constantes de 2. Visualmente, las secuencias aritméticas en una gráfica se verán como funciones lineales.

Gráfico lineal

Después de trazar los puntos del conjunto de datos en el sistema de coordenadas cartesianas, la naturaleza aritmética de este conjunto de datos se muestra en el gráfico, ya que la pendiente de y = 2x +1 es constantemente constante:

Gráfica de y = 2x + 1

Una función exponencial

Dada una función exponencial en la forma de y = a x , donde a es una constante, ¿podemos conectarla, conceptualmente hablando, con su conjunto de datos y gráfico respectivos? Si se nos da la ecuación y = 2 x de una función exponencial, donde la base a = 2 y el exponente es variable, conectemos con su conjunto de datos y gráfico correspondientes.

Conjunto de datos exponenciales

Para crear un conjunto de datos para y = 2 x , comenzamos a ingresar valores en x y resolvemos los valores de y correspondientes . Por ejemplo, para encontrar el valor de y cuando x = 0 , ponemos x = 0 en y = 2 x : y = 2 0 = 1 . Para x = 1 , encontramos que y = 2 1 = 2 . Para x = 2 , encontramos que y = 2 2 = 4 . A medida que continuamos ingresando valores de x en esta ecuación, creamos un conjunto de datos que se parece a lo siguiente:

Conjunto de datos de y = 2 x

A diferencia de la ecuación lineal, esta función exponencial tiene un conjunto de datos geométricos , ya que por cada aumento de x en un incremento de 1, y aumenta en un factor de 2. En otras palabras, por cada aumento de x en incrementos de 1, y aumenta doblemente.

Gráfico exponencial

Trazando nuestro conjunto de datos como una serie de puntos en el plano cartesiano de coordenadas, obtenemos la siguiente gráfica de la función exponencial:

Gráfica de y = 2 x

A diferencia de la gráfica de la línea, donde hay una pendiente o pendiente constante, la gráfica de esta función tiene una pendiente muy pronunciada ya que los valores de y aumentan exponencialmente con respecto a x .

Derivación de ecuaciones de funciones lineales y exponenciales a partir de datos y / o gráficos

Derivar una función lineal

Si se dan los siguientes datos de una función lineal desconocida:

Tabla de función lineal desconocida

y una gráfica de esa misma función lineal desconocida:

Gráfico de función lineal desconocida

¿Podemos encontrar una ecuación que encaje? En primer lugar, como aprendimos anteriormente, al observar la gráfica de esta función desconocida sabemos que estamos tratando con una función lineal; por lo tanto, podemos encontrar una ecuación para ella ya sea encontrando una forma punto-pendiente o una forma pendiente-intersección. Busquemos el último. Sabemos que dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) , la pendiente m es igual a (y2-y1) / (x2-x1) . Dados dos puntos (0, 2) y (1, 3), nuestra pendiente será m = (3 – 2) / (1 – 0) = 1 . El primer punto (0, 2) también resulta ser la intersección y b = 2 . Dada la forma general pendiente-intersección de y = mx + b , la ecuación de nuestra línea desconocida esy = (1) x + (2) o simplemente y = x + 2 .

Derivar una función exponencial

Dados los siguientes datos de una función exponencial desconocida:

Tabla de función exponencial desconocida

y una gráfica de esa misma función exponencial desconocida:

Gráfico de función exponencial desconocida

¿Podemos encontrar la ecuación que representan? Mirando la gráfica de esta función desconocida, podemos decir que probablemente sea la de una función exponencial, ya que la tasa de aumento de sus valores de y con respecto a x es muy rápida. Además, podemos notar que la gráfica probablemente se ha desplazado hacia arriba 2 unidades a lo largo de y, pero consideremos encontrar un método para descubrir la ecuación de una función exponencial desconocida en la forma básica de y = a x .

Para encontrar el valor de a en este caso, debemos determinar el cambio en la tasa de y (o el cambio del cambio en y). Restando cada valor de y por el valor de y anterior, obtenemos nuestro cambio en y en la tercera columna a continuación. En segundo lugar, al comparar el cambio en y (o la tasa) con el anterior, vemos que el cambio de los valores de la tasa, de uno a otro, se multiplica por un factor de 2.

Como resultado, a = 2 , como a es igual al factor por el cual nuestro cambio en la tasa se multiplica de un valor al siguiente. Podemos sustituir esto en y = a x , lo que nos da y = 2 x ; sin embargo, notamos que siempre que ingresamos una x de la primera columna en y = 2 x y resolvemos una y , siempre terminamos con un valor corto de 2. Note esto en la siguiente tabla.

Como tenemos 2 x en la 2ª columna e y en la 3ª columna, llegamos a la conclusión de que debemos sumar 2 a 2 x para obtener y ; por lo tanto, nuestra ecuación exponencial final es y = 2 x + 2 .

Resumen de la lección

En esta lección, analizamos dos funciones, una lineal y una exponencial . Vimos cómo estas funciones se relacionan con sus respectivos conjuntos de datos y gráficos . Si bien encontramos que la función lineal muestra una secuencia aritmética dentro de su conjunto de datos, encontramos que la función exponencial tiene una secuencia geométrica dentro de su conjunto de datos. Además, encontramos que la gráfica de la función lineal tenía una pendiente constante, la de una línea recta; mientras que la función exponencial tenía una pendiente muy pronunciada y cambiante. Finalmente, practicamos reconociendo si las gráficas y los datos producirían funciones lineales o exponenciales. Derivamos un ejemplo de cada uno de sus respectivos conjuntos de datos y gráficos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador