¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?
En un curso de álgebra, pasarás mucho tiempo trabajando con polinomios. Clasificamos estos polinomios según el número de términos que contienen. Por ejemplo, un trinomio es un polinomio que tiene tres términos.
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Lo que encontrarás que pasas la mayor parte de tu tiempo haciendo con trinomios es factorizarlos para resolver las incógnitas. En esta lección, aprenderemos cómo factorizar un tipo especial de trinomio llamado trinomio cuadrado perfecto . Los trinomios cuadrados perfectos vienen en las dos formas siguientes:
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A la izquierda del signo igual está el trinomio que se te dará, y a la derecha está su forma factorizada. Los términos que componen nuestro trinomio cuadrado perfecto se pueden dividir en los componentes de una y b . Estos dos componentes pueden consistir en constantes, incógnitas o una combinación de los dos.
Cómo identificar un trinomio cuadrado perfecto
Ahora sabes en teoría qué es un trinomio cuadrado perfecto, pero ¿cómo saber si el trinomio específico con el que estás trabajando es uno? Recuerde, no tendrá lo que está en el lado derecho del signo igual en las ecuaciones anteriores. Eso es lo que estás intentando encontrar.
Para ver si un trinomio con el que está trabajando es un trinomio cuadrado perfecto, debe verificar las siguientes tres condiciones:
Condición 1: El primer y tercer término deben ser positivos.
Condición 2: El primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos.
Condición 3: Si el segundo término es positivo , es igual a 2 veces las raíces cuadradas del primer y tercer término. Si el segundo término es negativo , es igual a -2 veces las raíces cuadradas del primer y tercer término.
Tienes un trinomio cuadrado perfecto si y solo si se cumplen las tres condiciones.
Problemas de práctica
La mejor manera de acostumbrarse a trabajar con trinomios cuadrados perfectos es resolviendo problemas de práctica. Factoricemos un par de trinomios juntos.
Problema uno
Comenzaremos revisando nuestra lista de verificación para ver si el siguiente trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.
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Condición 1: ¿Son positivos el primer y el tercer término? Nuestro primer término es 4 x ^ 2 y el tercero es 25. Ambos son positivos, por lo que se pasa esta condición.
Condición 2: ¿El primer y el tercer término son cuadrados perfectos? Para determinar esto, tomamos sus raíces cuadradas. Si son cuadrados perfectos, las constantes deberían salir como números enteros y los exponentes de las incógnitas deberían acabar como números enteros también.
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Ambos términos también pasan esta prueba. Si este trinomio resulta ser un trinomio cuadrado perfecto, 2 x será nuestra a y 5 será nuestra b de las fórmulas para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
Condición 3: ¿El segundo término es igual a dos veces las raíces cuadradas del primer y tercer término?
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Nuestro trinomio ha pasado ahora las tres condiciones. Entonces podemos usar una fórmula para factorizar un trinomio cuadrado perfecto en él.
Primero, debemos verificar cuál de las dos versiones de la fórmula vamos a utilizar. Esto depende de si el segundo término es positivo o negativo. Como es positivo (20x) usaremos la siguiente fórmula:
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Ya hemos visto que para este trinomio a = 2 x y b = 5. Sabiendo esto, obtenemos la siguiente respuesta para nuestro trinomio completamente factorizado.
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Problema dos
Para nuestro segundo problema de práctica, veamos algo un poco más complicado.
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Inmediatamente podemos ver que esto falla en nuestra primera condición, ya que tanto el primer como el tercer término son negativos. Sin embargo, no debes rendirte tan rápido. Podemos intentar factorizar uno negativo de la ecuación.
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Ahora, tanto el primer como el tercer término entre paréntesis son positivos. Podemos seguir comprobando si lo que hay entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto.
Podemos ver que el trinomio también falla en la segunda condición ya que no se puede simplificar una raíz cuadrada de x ^ 3. Sin embargo, nuevamente; podemos factorizar una x ya que está en cada uno de los tres términos.
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Cuando volvemos a verificar lo que está entre paréntesis, podemos ver que ahora pasa la segunda condición.
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La moraleja de la historia aquí es que cada vez que un trinomio falla en cualquiera de las dos primeras condiciones, siempre debe verificar dos veces para asegurarse de que no haya un elemento compartido entre los tres términos que pueda factorizarse.
Finalmente, podemos ver que el trinomio pasa la tercera condición.
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Dado que el segundo término de este trinomio es negativo, usamos la segunda forma de la ecuación del trinomio cuadrado perfecto para factorizarlo.
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Resumen de la lección
En un curso de álgebra, una cosa que aprenderá a hacer es factorizar trinomios , que son polinomios que tienen tres términos. Un tipo especial de trinomio se llama trinomio cuadrado perfecto y se presenta en las dos formas siguientes:
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Los componentes, una y B , que forman el trinomio cuadrado perfecto pueden ser constantes, incógnitas, o una combinación de los dos.
Para determinar si el trinomio específico con el que está trabajando es un trinomio cuadrado perfecto, debe pasar las tres condiciones siguientes:
Condición 1: El primer y tercer término deben ser positivos.
Condición 2: El primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos.
Condición 3: Si el segundo término es positivo, es igual a 2 veces las raíces cuadradas del primer y tercer término. Si es negativo, equivale a -2 veces las raíces cuadradas del primer y tercer término.
Como advertencia final, incluso cuando el trinomio parezca fallar en cualquiera de las dos primeras condiciones, siempre verifique que no haya un elemento entre los tres términos de su trinomio que pueda factorizarse para que funcione como un cuadrado perfecto. trinomio.
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