Problemas de práctica de factorización de diferencias de cuadrados

Problemas de diferencia de cuadrados

¿Cómo puedes saber si una expresión es una diferencia de cuadrados o no? Mire las siguientes expresiones de diferencia de cuadrados y vea si puede ver qué tienen todas en común.

Primero, quizás hayas notado que hay dos términos en cada expresión. También están todos separados por un signo menos. Las expresiones que contienen una diferencia de cuadrados siempre tendrán dos términos separados por un signo menos. Si hay un signo más, no puede ser una diferencia de cuadrados. ¡Eso sería una suma de cuadrados!

Sin embargo, un signo menos y dos términos no son todo lo que necesita buscar. Además, cada término debe ser un cuadrado perfecto , lo que significa que se puede factorizar en dos términos idénticos. Por ejemplo, 4 se puede factorizar en 2 * 2 y 49 se puede factorizar en 7 * 7. Un cuadrado perfecto puede ser un número, o también puede tener una variable al cuadrado, como x al cuadrado ( x * x ) o y al cuadrado ( y * y ).

Si ve que su expresión tiene solo dos términos separados por un signo menos y ambos son cuadrados perfectos, ¡felicitaciones! Tienes un problema de diferencia de cuadrados . Eso es genial, porque estos son bastante fáciles de factorizar. Ahora veamos cómo hacer eso.

Cómo factorizar problemas de diferencia de cuadrados

Para factorizar una expresión de diferencia de cuadrados, siempre puede utilizar estos tres sencillos pasos:

1. Determina si la expresión es una diferencia de cuadrados o no. Busque el signo menos y luego vea si cada término es un cuadrado perfecto. En otras palabras, debería verse algo así: a 2 – b 2 . Veamos un ejemplo:

a 2 – 25

Este es un problema de diferencia de cuadrados porque incluye dos términos que son cuadrados perfectos separados por un signo menos.

2. Saca la raíz cuadrada de ambos términos.

a 2 = a * a

25 = 5 2 o 5 * 5

3. Escribe dos factores: uno en el que se suman las raíces cuadradas y otro en el que se restan, como se muestra a continuación. Es importante mantener la misma ubicación de los términos. El un plazo a partir de la diferencia de los cuadrados problema se debe colocar en la una aparece plazo en la respuesta. Lo mismo se aplica a los términos b .

( a 2 – b 2 ) = ( a + b ) ( a – b )

La respuesta a nuestro problema se convierte entonces en un 2 – 25 = ( un + 5) ( un – 5)

Problemas de práctica

Cada problema de diferencia de cuadrados se puede factorizar utilizando los tres pasos enumerados anteriormente. Echemos un vistazo a un par de ejemplos más.

Ejemplo 1

Factor la expresión x 2 – 16

Primero, veamos si esto es, de hecho, un problema de diferencia de cuadrados. Definitivamente hay dos términos con un signo menos entre ellos, pero ¿es cada término un cuadrado perfecto?

x 2 puede tenerse en cuenta en x veces x , y 16 pueden tener en cuenta a 4 veces 4, de modo que sí, esta es una diferencia de cuadrados problema.

Ahora, está listo para factorizar la expresión:

x 2 – 16 = ( x + 4) ( x – 4)

Ejemplo 2

Factor la expresión 9 x 2 – 121 y 2

Este es un poco más complicado que el anterior, pero aún puede factorizarlo de la misma manera. Primero, determine si es una diferencia de cuadrados buscando un signo menos y cuadrados perfectos. Luego factoriza cada término en dos términos idénticos.

En este caso, 9 x 2 es igual a 3 x por 3 x y 121 y 2 es igual a 11 y por 11 y . ¡Esta es una diferencia de dos cuadrados!

Una vez que tenga la raíz cuadrada de cada factor, puede factorizar la expresión por completo:

9 x 2 – 121 y 2 = (3 x + 11 y ) (3 x – 11 y )

Cómo revisar su trabajo

Cuando factorizas un problema de diferencia de cuadrados, siempre puedes verificar tu trabajo multiplicando los dos factores para asegurarte de obtener la expresión original.

Para multiplicar dos binomios, use el método FOIL . Esto significa que debe multiplicar los primeros términos del binomio, luego los términos externos, luego los términos internos y finalmente los últimos términos.

En otras palabras, ( a + b ) ( a – b ) se convierte en ( a * a ) + ( a * b ) + ( b * a ) + ( b * b ). Intentémoslo usando nuestro segundo ejemplo de arriba.

(3 x + 11 y ) (3 x – 11 y )

= (3 x * 3 x ) + (3 x * -11 y ) + (11 y * 3 x ) + (11 y * 11 y )

= 9 x 2 + 33 xy – 33 xy -121 y 2

= 9 x 2 – 121 y 2

Resumen de la lección

Una ecuación con una diferencia de cuadrados tendrá dos términos que son cuadrados perfectos con un signo menos entre ellos. Una vez que hayas determinado que este es de hecho el tipo de ecuación con la que estás tratando, saca la raíz cuadrada de cada término. Luego, escribe dos factores: uno donde las raíces cuadradas se suman y otro donde se restan. Para verificar su trabajo, puede usar el Método FOIL para ver si termina con el problema de diferencia de cuadrados con el que comenzó. Si recuerda esta fórmula simple, resolver ecuaciones en diferencias de cuadrados será pan comido.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador